Question

По шероховатой горизонтальной поверхности тянут за верёвку груз m=1 кг. с постоянной скоростью v=0,1 м/с. Найдите мощность силы натяжения верёвки, если угол между горизонталью и верёвкой равен 30 градусам, а коэффициент трения между грузом и поверхностью равен 0,1.

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для мощности:

\[ P = \vec{F} \cdot \vec{v} \]

где \(\vec{F}\) - сила, действующая на груз, и \(\vec{v}\) - скорость груза.

Сначала найдем силу натяжения веревки. На груз действует гравитационная сила \(mg\) вниз и сила натяжения веревки \(T\) вдоль наклонной поверхности. Вертикальная составляющая силы натяжения \(T\) равна \(T \cdot \cos(\theta)\), а горизонтальная составляющая равна \(T \cdot \sin(\theta)\), где \(\theta\) - угол наклона веревки к горизонтали.

Учитывая также силу трения \(f\), которая действует в направлении, противоположном движению, можем написать уравнение второго закона Ньютона для горизонтальной составляющей:

\[ T \cdot \sin(\theta) - f = m \cdot a \]

где \(a\) - ускорение, равное нулю, так как груз движется с постоянной скоростью.

Сила трения \(f\) равна \(\mu \cdot N\), где \(\mu\) - коэффициент трения, а \(N\) - нормальная сила, равная \(mg \cdot \cos(\theta)\).

Теперь можем записать уравнение:

\[ T \cdot \sin(\theta) - \mu \cdot N = 0 \]

Подставляем \(N = mg \cdot \cos(\theta)\):

\[ T \cdot \sin(\theta) - \mu \cdot mg \cdot \cos(\theta) = 0 \]

Теперь находим силу натяжения:

\[ T = \frac{\mu \cdot mg \cdot \cos(\theta)}{\sin(\theta)} \]

Теперь можем использовать формулу для мощности:

\[ P = T \cdot v \]

Подставляем значение \(T\) и \(v\):

\[ P = \frac{\mu \cdot mg \cdot \cos(\theta)}{\sin(\theta)} \cdot v \]

Теперь подставим известные значения: \(m = 1 \, \text{кг}\), \(g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2\), \(v = 0.1 \, \text{м/с}\), \(\theta = 30^\circ\), \(\mu = 0.1\):

\[ P = \frac{(0.1) \cdot (1) \cdot (9.8) \cdot \cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} \cdot 0.1 \]

\[ P \approx 0.49 \, \text{Вт} \]

Таким образом, мощность силы натяжения веревки при тяжении груза с постоянной скоростью равна примерно \(0.49 \, \text{Вт}\).