Question

Тело движется вниз по наклонной шероховатой плоскости, кото­рая образует с горизонтом угол 40°. Определить ускорение тела, если коэффициент трения скольжения f = 0,3

Answer 1

Для решения этой задачи используем второй закон Ньютона, который гласит, что сумма всех сил, действующих на тело, равна массе тела, умноженной на его ускорение. Учитывая наклонную плоскость и силу трения, уравнение второго закона Ньютона можно записать следующим образом:

\[ \sum F = m \cdot a \]

Разложим силу тяжести \( mg \) на две составляющие: одна параллельна наклонной плоскости (\( mg \sin \theta \)), другая перпендикулярна ней (\( mg \cos \theta \)). Сила трения \( f \) действует в направлении, противоположном движению, и равна \( \mu \cdot N \), где \( \mu \) - коэффициент трения скольжения, а \( N \) - нормальная сила.

Учитывая это, уравнение второго закона можно записать в проекциях:

\[ \sum F_{\parallel} = m \cdot a \]

\[ mg \sin \theta - f = m \cdot a \]

Теперь выразим силу трения \( f \) через коэффициент трения \( \mu \) и нормальную силу \( N \):

\[ \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g \cos \theta \]

Так как тело не движется в вертикальном направлении, сумма сил по вертикали равна нулю:

\[ \sum F_{\perp} = 0 \]

\[ N - mg \cos \theta = 0 \]

Отсюда можно выразить нормальную силу \( N \):

\[ N = mg \cos \theta \]

Теперь подставим это значение силы \( N \) в уравнение для силы трения:

\[ \mu \cdot N = \mu \cdot mg \cos \theta \]

Теперь подставим это значение силы трения в первое уравнение:

\[ mg \sin \theta - \mu \cdot mg \cos \theta = m \cdot a \]

Теперь выразим ускорение \( a \):

\[ a = g (\sin \theta - \mu \cos \theta) \]

Подставим значения: \( g \approx 9.8 \ \text{м/с}^2 \), \( \theta = 40^\circ \), \( \mu = 0.3 \):

\[ a = 9.8 \cdot (\sin 40^\circ - 0.3 \cdot \cos 40^\circ) \]

\[ a \approx 9.8 \cdot (0.6428 - 0.3 \cdot 0.766) \]

\[ a \approx 9.8 \cdot (0.6428 - 0.2298) \]

\[ a \approx 9.8 \cdot 0.413 \]

\[ a \approx 4.057 \ \text{м/с}^2 \]

Таким образом, ускорение тела при скатывании по наклонной шероховатой плоскости составляет примерно \( 4.057 \ \text{м/с}^2 \).