Question

Два тела начинают движение по окружности из одной точки. а)движутся навстречу друг другу б)движутся вдогонку Через какой промежуток времени они встретятся,если T(период) 1=2 с,T(период) 2=4с.

Answer 1

Предположим, что два тела начинают движение по окружности из одной точки. Одно из тел движется по часовой стрелке, а другое против часовой стрелки. В таком случае, если они движутся навстречу друг другу, то их скорости складываются, а если они движутся вдогонку, то скорость одного тела вычитается из скорости другого.

а) Движение навстречу: Если \( T_1 \) и \( T_2 \) - периоды оборотов первого и второго тел соответственно, то их относительная скорость при движении навстречу будет равна сумме их скоростей:

\[ V_{\text{отн}} = V_1 + V_2 \]

где \( V_{\text{отн}} \) - относительная скорость, \( V_1 \) - скорость первого тела, \( V_2 \) - скорость второго тела.

Чтобы найти пройденное расстояние, умножим относительную скорость на время:

\[ S = V_{\text{отн}} \cdot t \]

Если это расстояние равно длине окружности (поскольку тела начали движение из одной точки и встретятся снова в этой же точке), то:

\[ S = 2 \pi R \]

где \( R \) - радиус окружности.

Теперь мы можем приравнять выражения для расстояния:

\[ V_{\text{отн}} \cdot t = 2 \pi R \]

Подставим выражение для относительной скорости:

\[ (V_1 + V_2) \cdot t = 2 \pi R \]

Теперь мы знаем, что \( T_1 = 2 \) с и \( T_2 = 4 \) с. Период связан с частотой следующим образом: \( T = \frac{1}{f} \), где \( f \) - частота.

Таким образом, \( f_1 = \frac{1}{T_1} = \frac{1}{2} \) Гц и \( f_2 = \frac{1}{T_2} = \frac{1}{4} \) Гц.

Скорость можно выразить через частоту и длину волны: \( V = \lambda \cdot f \), где \( \lambda \) - длина волны.

Так как \( V = \frac{2 \pi R}{T} \), то можно записать:

\[ \frac{2 \pi R}{T} = \lambda \cdot f \]

Теперь мы можем использовать это уравнение для выражения скоростей \( V_1 \) и \( V_2 \) через длину волны и частоту:

\[ V_1 = \lambda \cdot f_1 \quad \text{и} \quad V_2 = \lambda \cdot f_2 \]

Теперь подставим эти выражения в уравнение для расстояния:

\[ \left( \lambda \cdot f_1 + \lambda \cdot f_2 \right) \cdot t = 2 \pi R \]

Теперь выразим длину волны через период и подставим в уравнение:

\[ \left( \frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{4} \right) \cdot t = 2 \pi R \]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[ 2T_1 + T_2 = 8 \pi R \]

Теперь подставим значения \( T_1 \) и \( T_2 \):

\[ 2 \cdot 2 + 4 = 8 \pi R \]

\[ 4 + 4 = 8 \pi R \]

\[ 8 = 8 \pi R \]

\[ R = 1 \, \text{м} \]

Таким образом, радиус окружности равен 1 метру. Теперь мы можем использовать это значение для вычисления времени встречи.

\[ (V_1 + V_2) \cdot t = 2 \pi R \]

\[ (\lambda \cdot f_1 + \lambda \cdot f_2) \cdot t = 2 \pi \cdot 1 \]

\[ \left( \frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{4} \right) \cdot t = 2 \pi \]

\[ \left( \frac{2}{2} + \frac{4}{4} \right) \cdot t = 2 \pi \]

\[ (1 + 1) \cdot t = 2 \pi \]

\[ 2t = 2 \pi \]

\[ t = \pi \, \text{с} \]

Таким образом, два тела встретятся через \( \pi \) секунд при движении навстречу друг другу.

б) Движение вдогонку: Если теперь тела движутся вдогонку друг за другом, то их относительная скорость будет разностью их скоростей:

\[ V_{\text{отн}} = V_1 - V_2 \]

Таким образом, уравнение для расстояния будет выглядеть так:

\[ (V_1 - V_2) \cdot t = 2 \pi R \]

Подставим выражения для скоростей:

\[ (\lambda \cdot f_1 - \lambda \cdot f_2) \cdot t = 2 \pi \cdot 1 \]

\[ \left( \frac{T_1}{2