Question

Свинцовую проволоку (плотность свинца ρ = 11,3 г/см3, удельная теплоемкость с = 125 Дж/(кг·К), Тплавл = 600 К) длиной 1 м подключили к клеммам источника постоянного напряжения U = 10 В. Пренебрегая изменением сопротивления проволоки во время опыта и потерями тепла в окружающее пространство, определите, сколько времени можно пропускать ток без опасности расплавить проволоку? Начальная температура проволоки 20º С, удельное электросопротивление свинца ρ' = 1,7·10-6 Ом·м.

Answer 1

Для решения этой задачи используем закон Джоуля-Ленца, который описывает выделение тепла в проводнике при прохождении через него тока:

\[ Q = I^2 R t, \]

где: - \( Q \) - количество выделенного тепла (в джоулях), - \( I \) - ток (в амперах), - \( R \) - электрическое сопротивление проводника (в омах), - \( t \) - время (в секундах).

Электрическое сопротивление \( R \) можно выразить через удельное электросопротивление и геометрические параметры проводника:

\[ R = \rho' \frac{L}{S}, \]

где: - \( \rho' \) - удельное электросопротивление материала проводника (в омах на метр), - \( L \) - длина проводника (в метрах), - \( S \) - площадь поперечного сечения проводника (в квадратных метрах).

Для проводника с круглым сечением площадь сечения можно выразить через радиус проводника \( r \):

\[ S = \pi r^2. \]

Исходные данные:

\[ U = 10 \, \text{В}, \] \[ \rho' = 1,7 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{м}, \] \[ \rho = 11,3 \, \text{г/см}^3 = 11300 \, \text{кг/м}^3, \] \[ c = 125 \, \text{Дж/(кг·К)}, \] \[ T_{\text{плавл}} = 600 \, \text{К}, \] \[ L = 1 \, \text{м}, \] \[ T_0 = 20^\circ \text{C} = 293 \, \text{K} \].

Сначала найдем площадь поперечного сечения проводника:

\[ S = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2, \]

где \( d \) - диаметр проводника.

\[ \rho = \frac{m}{V}, \]

где \( m \) - масса проводника, \( V \) - его объем.

\[ m = \rho \cdot V, \]

\[ m = \rho \cdot S \cdot L, \]

\[ m = \rho \cdot \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \cdot L. \]

Мы также знаем, что \( c = \frac{Q}{m \cdot \Delta T} \), где \( \Delta T \) - изменение температуры.

\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T, \]

\[ Q = \rho \cdot \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \cdot L \cdot c \cdot \Delta T. \]

Теперь мы можем записать уравнение для \( Q \) через ток и время:

\[ Q = I^2 R t. \]

Подставим выражение для \( R \):

\[ I^2 \cdot \rho' \cdot \frac{L}{S} \cdot t = \rho \cdot \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \cdot L \cdot c \cdot \Delta T. \]

Теперь можно решить это уравнение относительно \( t \). Подставим известные значения и найдем ответ. Учтем, что \( I = \frac{U}{R} \).

\[ t = \frac{\rho \cdot \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \cdot L \cdot c \cdot \Delta T}{I^2 \cdot \rho' \cdot \frac{L}{S}}. \]

\[ t = \frac{\rho \cdot \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \cdot L \cdot c \cdot \Delta T \cdot S}{U^2 \cdot \rho' \cdot L}. \]

\[ t = \frac{\rho \cdot \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \cdot c \cdot \Delta T \cdot S}{U^2 \cdot \rho'}. \]

\[ t = \frac{11300 \cdot \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \cdot 125 \cdot (600 - 293) \cdot \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2}{10^2 \cdot 1.7 \times 10^{-6}}. \]

Теперь остается только решить это уравнение и получить значение времени \( t \).