Question

Мимо остановки по прямой улице проезжает грузовик со скоростью 10 м/с. Через 5 с от остановки вдогонку грузовику отъезжает мотоциклист, движущийся с ускорением 3 м/с2. На каком расстоянии от остановки мотоциклист догонит грузовик?

Answer 1

За тело отсчета примем остановку.

Уравнение движения мотоцикла:
x₁ = a* t²/2 = 1,5*t²

Грузовик ехал на 5 секунд дольше мотоциклиста.. Его уравнение движения:
x₂ = V*(t+5) = 10*(t+5) = 10t + 50

Поскольку мотоциклист догнал грузовик, то:
x₁=x₂
1,5t² = 10t +50

Умножим на 10:
15t² - 100t - 500 = 0
Разделим на 5:
3t² - 20t - 100 =0

Решаем квадратное уравнение:
t = 10 с

Находим:
S = 10*t+50=100+50=150 м

Answer 2

На момент, когда стартует мотоциклист, грузовик будет находиться в координате v1 Δt. пусть они встретятся в координате x от начала остановки, а двигаться будут до нее время t. тогда

x = v1 Δt + v1 t
x = v2 t + (a t²)/2

время движения до координаты x равно

t = (x - v1 Δt)/v1

подставим выражение для времени в уравнение координаты для мотоциклиста

x = (v2/v1) * (x - v1 Δt) + (a/2) * ((x - v1 Δt)/v1)²

сделаем замену y = x - v1 Δt, причем y > 0

y + v1 Δt = (v2/v1) * y + (a y²)/(2 v1²)

y² * (a/(2 v1²)) + y * ((v2/v1) - 1) - v1 Δt = 0

y² + y * (2 v1² ((v2/v1) - 1)/a) - (2 v1³ Δt)/a = 0

исключая в данном квадратном уравнении отрицательный корень, получаем

$y= \frac{ v_{1} }{a}(\sqrt{ ( v_{2} - v_{1} )^{2}+2aзt v_{1} }- v_{2} + v_{1} )$

возвращаясь к замене, получаем окончательный ответ

$x= \frac{ v_{1} }{a}(\sqrt{ ( v_{2} - v_{1} )^{2}+2aзt v_{1} }- v_{2} + v_{1} )+ v_{1}зt$

а теперь, когда дело дошло до расчетов, я заметил, что начальная скорость мотоциклиста равна нулю (ибо про нее ничего не сказано). это значит, что v2 = 0. в таком случае, формула примет вид

$x= \frac{ v_{1} }{a}(\sqrt{ v_{1} ^{2}+2aзt v_{1} } + v_{1} )+ v_{1}зt$

x = (10/3)*(sqrt(100+2*3*5*10)+10)+50 = 150 м/c