Question

Искусственный спутник обращается вокруг планеты по круговой орбите радиусом 4000км со скоростью 3,4км/с. Ускорение свободного падения на поверхности планеты равно 4м/с^2. Чему равен радиус планеты?

Answer 1

Согласно II закону Ньютона ma=mg_{1}[/tex], где $g_{1}$ - ускорение свободного падения на той высоте, где летит спутник.

Спутник двигается по окружности под действием только силы тяжести, поэтому $mg_{1}=ma_{ц}$

$mg_{1}=m<span>\frac{V^2}{R_{or}}$, где $R_{or}$ - радиус орбиты, по которой движется спутник.

Откуда $g_{1}=\frac{V^2}{R_{or}}$

С другой стороны, сила тяжести - это сила всемирного тяготения, поэтому справедливо следующее: $mg_{1}=G\frac{mM}{R_{or}^2}$, где M - масса планеты, G - гравитационная постоянная.

Отсюда $g_{1}=G\frac{M}{R_{or}^2}=\frac{V^2}{R_{or}}$

Отсюда $M=\frac{V^2R_{or}}{G}$

Теперь запишем то же самое для поверхности планеты: $mg=G\frac{mM}{R^2}, g=G\frac{M}{R^2}$, g - ускорение свободного падения у поверхности планеты (заданное в условии), R - радиус планеты.

Подставим в последнее уравнение массу планеты М и получим: $g=\frac{G}{R^2}\frac{V^2R_{or}}{G}=\frac{V^2R_{or}}{R^2}$

И отсюда находим R: $R=V\sqrt{\frac{R_{or}}{g}}$

R=3 400 000 м=3 400 км