Question

При каких условиях возможно усиление результирующих колебаний при сложении волн

Answer 1

Рассмотрим пример сложения двух колебаний:
a = A cos φ₁
b = B cos φ₂
φ ≡ ωt + ψ - фаза колебания
ω =const и ψ = const

Для исследования  усиления или ослабления колебаний, удобнее использовать "среднюю энергию" колебания (интенсивность), которая определяется как средний по времени квадрат сигнала
с² = A² cos² φ₁ + B² cos² φ₂ + AB{cos[(ω₁ + ωt₂)t + ψ₁ + ψ₂] + cos[(ω₁ - ω₂)t + ψ₁ - ψ₂}
Ic ≡ <c²> - интенсивность, усреднение по времени.
Ic = Ia + Ib + AB <cos[(ω₁ + ω₂)t + ψ₁ + ψ₂]> + AB <cos[(ω₁ - ω₂)t + ψ₁ - ψ₂}>

<cos[(ω₁ + ω₂)t + ψ₁ + ψ₂]> = 0
a) ω₁ ≠ ω₂ 
<cos[(ω₁ - ω₂)t + ψ₁ - ψ₂]}> = 0
Ic = Ia + Ib
Ни усиления, ни ослабления колебаний не будет.
В оптике говорят, что колебания не монохроматичны. Устойчивая интерференционная картина не наблюдается.
б) ω₁ = ω₂ 
Ic = Ia + Ib + AB cos[ψ₁ - ψ₂]
Если cos[ψ₁ - ψ₂] > 0, то происходит увеличение средней энергии результирующего колебания, т.е. усиление колебаний.
т.е. разность фаз должна быть |ψ₁ - ψ₂| < π/2

Если cos[ψ₁ - ψ₂] <  0 - сигнал ослабляется
Если |ψ₁ - ψ₂| = π и A = B, то Ic = Ia + Ib - AB = 0
т.е. интенсивность колебаний становится равной нулю.
т.к. Ia = <A²cos²φ₁> = 0.5A²[1 + <cos (2φ₁)>] = 0.5A²
Последнее явление можно объяснить ещё тем, что колебания происходят просто в противофазе и в любой момент времени a = -b

Итак, условия усиления:
1) ω₁ = ω₂ 
2) |ψ₁ - ψ₂| < π/2

P.S. Про усреднение
$\ \textless \ a\ \textgreater \ =\frac{1}{T}\int\limits^ \frac{T}{2} _ \frac{-T}{2} {a(t)} \, dt$