Question

Математический маятник длиной L = 1,00 м совершает колебания. Амплитуда колебаний А = 10см, а начальное смещение х₀=5см. Записать уравнение колебаний, а также найти скорость υ и ускорение a через одну секунду после начала колебаний.

Answer 1

Уравнение  x = A sin (х0 + ωt),   A амплитуда     х0- начальное смещение     ω циклическая частота = 2π/Т=2π/2π√l/g=√g/√l≈√10/1=3.16 рад/с
x=Asin(x0+ωt)=0.1sin(0.05+3.16t) м.
v=x'=0.1*3.16cos(0.05+3.16t)≈0.32cos(0.05+3.16t)
v(1)=0.32cos3.21 м/сек

a(1)=v'=-0.32*3.16*sin(0.05+3.16t)≈-sin(3,21) м/сек²

Answer 2

Для математического маятника уравнение колебаний можно записать следующим образом:

\[ \theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t + \phi), \]

где: - \(\theta(t)\) - угол отклонения маятника от вертикали в момент времени \(t\), - \(\theta_0\) - амплитуда колебаний (начальное отклонение), - \(\omega\) - угловая частота колебаний, - \(t\) - время, - \(\phi\) - начальная фаза колебаний.

Для вычисления \(\omega\) (угловой частоты) мы используем следующее соотношение:

\[ \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}, \]

где: - \(g\) - ускорение свободного падения, - \(L\) - длина математического маятника.

В данном случае \(L = 1.00 \ \text{м}\) и \(g \approx 9.8 \ \text{м/с}^2\), поэтому

\[ \omega = \sqrt{\frac{9.8}{1.00}} \approx 3.13 \ \text{рад/с}. \]

Теперь мы можем записать уравнение колебаний:

\[ \theta(t) = 0.1 \cos(3.13t + \phi). \]

Начальное отклонение \(x_0\) соответствует амплитуде, поэтому \(\theta_0 = 0.1\) радиан, и начальная фаза \(\phi\) равна нулю.

Теперь, чтобы найти скорость и ускорение через одну секунду после начала колебаний (\(t = 1 \ \text{с}\)), мы можем взять производные от уравнения колебаний по времени:

\[ \omega(t) = -\theta_0 \omega \sin(\omega t + \phi), \]

\[ a(t) = -\theta_0 \omega^2 \cos(\omega t + \phi). \]

Подставим значения и вычислим их для \(t = 1 \ \text{с}\):

\[ \omega(1) = -0.1 \times 3.13 \times \sin(3.13 \times 1) \approx -0.31 \ \text{рад/с}, \]

\[ a(1) = -0.1 \times (3.13)^2 \times \cos(3.13 \times 1) \approx -9.19 \ \text{м/с}^2. \]

Таким образом, через одну секунду после начала колебаний угловая скорость \(\omega\) составляет примерно \(-0.31 \ \text{рад/с}\), а угловое ускорение \(a\) примерно \(-9.19 \ \text{м/с}^2\). Учитывайте знак минус, который указывает на направление векторов скорости и ускорения в разные стороны.