Question

В сосуде с емкостью V=2л находится гелий под давлением p1=1 МПа. Стенки сосуда могут выдержать максимальное давление p2 = 5 МПа. Какое наибольшее количество теплоты можно сообщить газу, чтобы сосуд не взорвался?

Answer 1

Держи решение в файле!

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться законом Бойля-Мариотта и уравнением состояния идеального газа. Уравнение Бойля-Мариотта гласит, что при постоянной температуре для идеального газа произведение его давления \(P\) на объем \(V\) остается постоянным:

\[ P_1 V_1 = P_2 V_2 \]

где \(P_1\) и \(V_1\) - начальное давление и объем, \(P_2\) и \(V_2\) - конечное давление и объем.

Мы знаем, что начальный объем \(V_1 = 2 \ л\), начальное давление \(P_1 = 1 \ МПа\), а максимальное давление \(P_2 = 5 \ МПа\). По закону Бойля-Мариотта мы можем выразить конечный объем \(V_2\):

\[ V_2 = \frac{P_1}{P_2} \cdot V_1 \]

\[ V_2 = \frac{1 \ МПа}{5 \ МПа} \cdot 2 \ л = 0.4 \ л \]

Теперь, чтобы избежать взрыва, объем гелия не должен превысить \(V_2 = 0.4 \ л\). Таким образом, максимальное допустимое уменьшение объема \( \Delta V = V_1 - V_2 = 2 \ л - 0.4 \ л = 1.6 \ л\).

Теплота \(Q\), переданная газу, связана с изменением его внутренней энергии и может быть выражена как:

\[ Q = \Delta U + W \]

где \( \Delta U \) - изменение внутренней энергии, \( W \) - работа, совершаемая газом.

В данном случае, так как объем уменьшается, работа \( W \) будет отрицательной:

\[ W = -P_{внешнее} \cdot \Delta V \]

где \( P_{внешнее} \) - внешнее давление (в данном случае, максимальное давление, которое может выдержать сосуд, \( P_2 = 5 \ МПа\)).

Подставим значения:

\[ W = -5 \ МПа \cdot 1.6 \ л = -8 \ МПа \cdot л \]

Теперь можем определить максимальное изменение внутренней энергии \( \Delta U \) из уравнения первого начала термодинамики:

\[ \Delta U = Q - W \]

\[ \Delta U = Q + 8 \ МПа \cdot л \]

Таким образом, нам нужно передать газу максимальное количество теплоты, чтобы избежать взрыва.