Question

Самолёт делает «мёртвую петлю». В нижней точке траектории сила, прижимающая лётчика к сиденью, в 5 раз больше силы тяжести. В верхней точке лётчик испытывает состояние невесомости. Во сколько раз скорость самолёта в нижней точке больше, чем в верхней?

Answer 1

верхняя точка:

mg=ma=mv02/R    g=v02/R

нижняя точка

-mg+5mg=mv2/R   -g+5g=v2/R  v02/v2=1/4 отсюда в два раза(корень)

Answer 2

"Mёртвая петля" — это маневр в авиации, при котором самолет делает круговой оборот вокруг вертикальной оси с сохранением постоянной высоты. В нижней точке траектории, когда самолет движется вниз, лётчик испытывает увеличенную силу, действующую вниз, прижимающую его к сиденью. В верхней точке, наоборот, лётчик ощущает состояние невесомости.

Известно, что сила, действующая на лётчика в нижней точке траектории, в 5 раз больше силы тяжести. Это может быть выражено уравнением:

\[ F_{нижняя} = 5 \cdot F_{тяжести} \]

Сила тяжести \( F_{тяжести} \) равна массе лётчика \( m \), умноженной на ускорение свободного падения \( g \) (приблизительно 9.8 м/с² на поверхности Земли):

\[ F_{тяжести} = m \cdot g \]

Таким образом, сила в нижней точке:

\[ F_{нижняя} = 5 \cdot m \cdot g \]

Верхнюю точку траектории можно связать с центростремительной силой, которая предоставляет необходимую центростремительную компоненту для обеспечения кругового движения. Центростремительная сила \( F_c \) связана с массой \( m \), радиусом круговой траектории \( r \) и квадратом скорости \( v^2 \):

\[ F_c = \frac{m \cdot v^2}{r} \]

В верхней точке траектории \( F_c \) также равна силе тяжести \( F_{тяжести} \), поэтому:

\[ \frac{m \cdot v_{верх}^2}{r} = m \cdot g \]

Отсюда можно выразить скорость в верхней точке:

\[ v_{верх} = \sqrt{r \cdot g} \]

Скорость в нижней точке траектории можно рассчитать, используя законы сохранения энергии, так как механическая энергия сохраняется в отсутствие недиссипативных сил:

\[ E_{верх} = E_{нижняя} \]

\[ m \cdot g \cdot 2r = \frac{1}{2} m \cdot v_{ниж}^2 + m \cdot g \cdot 2r \]

Отсюда можно выразить скорость в нижней точке:

\[ v_{ниж} = \sqrt{5 \cdot g \cdot r} \]

Теперь можно относительно скорости в верхней и нижней точках определить, во сколько раз скорость в нижней точке больше, чем в верхней:

\[ \frac{v_{ниж}}{v_{верх}} = \frac{\sqrt{5 \cdot g \cdot r}}{\sqrt{r \cdot g}} = \sqrt{5} \]

Итак, скорость в нижней точке траектории больше, чем в верхней, в \(\sqrt{5}\) раз.