Question

Идеальный одноатомный газ адиабатно переводят из состояния с параметрами ∨₁= 1 л. и p₁= 1.6 * 10⁵ Па в состояние с параметрами ∨₂= 2 л. и p₂= 0.5 * 10⁵ Па. Определите работу совершаемую газом.

Answer 1

При адиабатном процессе тепло не подводится (Q = 0), тогда из первого начала термодинамики:
Q = ΔU + A следует, что совершаемая работа:
A = -ΔU = - (m/M)*Cv*ΔT = -(m*R/M)*(3/2)*ΔT

Дважды запишем уравнение Менделеева - Клапейрона:
p1*V1=m*R*T1/M
p2*V2=m*R*T2/M

T1 = p1*V1*M / (m*R)
T2 = p2*V2*M / (m/R)

ΔT = T2-T1 = M/(m*R)*(p2*V2-p1*V1)

A = -3/2*(m*R/M)*M/(m*R)*(p2*V2-p1*V1)

Окончательно:
A = -3/2 * (p2*V2-p1*V1)

После подстановки данных, получаем:
A = -3/2 *(1-1,6)*10² = 90 Дж

Answer 2

Идеальный одноатомный газ адиабатно переводят из состояния с параметрами $\nu_1 = 1$ л и $p_1 = 1.6 \times 10^5$ Па в состояние с параметрами $\nu_2 = 2$ л и $p_2 = 0.5 \times 10^5$ Па. Необходимо определить работу, совершаемую газом.

Адиабатный процесс

Адиабатный процесс - это процесс, в котором нет теплообмена с окружающей средой. В таком процессе изменение энергии газа происходит только за счет работы, совершаемой газом.

Работа газа

Работа, совершаемая газом, может быть определена с использованием первого закона термодинамики:

$$\Delta U = Q - W$$

где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии газа, $Q$ - тепло, переданное газу, и $W$ - работа, совершаемая газом.

В адиабатном процессе, когда нет теплообмена, $\Delta U = 0$, поэтому уравнение принимает вид:

$$0 = Q - W$$

Таким образом, работа, совершаемая газом, равна теплу, переданному газу.

Определение работы

Работа, совершаемая газом, может быть определена как разность между начальной и конечной энергией газа:

$$W = U_2 - U_1$$

где $U_1$ и $U_2$ - начальная и конечная внутренняя энергия газа соответственно.

Определение внутренней энергии

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры. Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия пропорциональна температуре:

$$U = \frac{3}{2} nRT$$

где $n$ - количество молей газа, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура газа.

Расчет работы

Для расчета работы газа необходимо определить начальную и конечную внутреннюю энергию газа.

Начальная внутренняя энергия газа ($U_1$) может быть определена, используя начальные параметры газа $\nu_1$ и $p_1$. Аналогично, конечная внутренняя энергия газа ($U_2$) может быть определена, используя конечные параметры газа $\nu_2$ и $p_2$.

$$U_1 = \frac{3}{2} nRT_1$$ $$U_2 = \frac{3}{2} nRT_2$$

Так как газ является идеальным, можно использовать уравнение состояния идеального газа:

$$pV = nRT$$

где $V$ - объем газа.

Используя уравнение состояния, можно выразить температуру газа:

$$T = \frac{pV}{nR}$$

Подставляя это выражение в уравнения для внутренней энергии, получим:

$$U_1 = \frac{3}{2} \frac{p_1V_1}{R}$$ $$U_2 = \frac{3}{2} \frac{p_2V_2}{R}$$

Теперь можно рассчитать работу, совершаемую газом:

$$W = U_2 - U_1 = \frac{3}{2} \frac{p_2V_2}{R} - \frac{3}{2} \frac{p_1V_1}{R}$$

Расчет работы для данного примера

Для данного примера, начальные параметры газа $\nu_1 = 1$ л и $p_1 = 1.6 \times 10^5$ Па, а конечные параметры газа $\nu_2 = 2$ л и $p_2 = 0.5 \times 10^5$ Па.

Подставляя эти значения в уравнение для работы, получаем:

$$W = \frac{3}{2} \frac{p_2V_2}{R} - \frac{3}{2} \frac{p_1V_1}{R}$$

$$W = \frac{3}{2} \frac{(0.5 \times 10^5 \times 2)}{R} - \frac{3}{2} \frac{(1.6 \times 10^5 \times 1)}{R}$$

$$W \approx -1.2 \times 10^5 \, \text{Дж}$$

Таким образом, работа, совершаемая газом, составляет примерно $-1.2 \times 10^5$ Дж. Обратите внимание, что знак минус указывает на то, что работа совершается над газом, а не газом.