Question

Автомобиль двигался по прямой дороге. Первую треть пути он проехал со скоростью 75 км/ч, вторую треть пути со скоростью 45 км/ч, а последнюю треть пути со скоростью, равной средней скорости на всём пути. Весь путь занял 3 часа. Найдите время, за которое автомобиль проехал первую треть пути. Ответ выразите в минутах.

Answer 1

Дано:
v1 = 75 м/c;
v2 = 45 м/с;
v3 = (v1+v2)/2 = (75+60)/2 = 60 м/с;
T = 3 ч=  180 с;
Найти:
t1 = ?
Решение:
s1 = s2 = s3 = S/3;
S = vср*t = (75+45+60)/3*180 = 10800 м;
s1 = 10800/3 = 3600 м;
t1 = s1/v1 = 3600/75 = 48 c;
Ответ: 48

Answer 2

Давайте обозначим общую длину пути через \( D \). Тогда первую треть пути автомобиль проехал со скоростью \( V_1 = 75 \, \text{км/ч} \), вторую треть с \( V_2 = 45 \, \text{км/ч} \), а последнюю треть с средней скоростью \( V_3 \).

Мы знаем, что весь путь занимает 3 часа, поэтому мы можем написать уравнение времени для каждого участка пути:

\[ \frac{D}{V_1} + \frac{D}{V_2} + \frac{D}{V_3} = 3 \]

Теперь, давайте выразим \( V_3 \) через \( V_1 \) и \( V_2 \). Средняя скорость вычисляется как обратное среднее арифметическое:

\[ V_3 = \frac{D}{\frac{D}{V_1} + \frac{D}{V_2} + \frac{D}{V_3}} = \frac{1}{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} + \frac{1}{V_3}} \]

Теперь мы можем подставить это выражение для \( V_3 \) в уравнение времени:

\[ \frac{D}{V_1} + \frac{D}{V_2} + \frac{D}{\frac{1}{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} + \frac{1}{V_3}}} = 3 \]

Теперь решим это уравнение относительно \( V_3 \). Сначала упростим уравнение:

\[ \frac{1}{V_3} = \frac{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2}}{3 - \frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2}} \]

Теперь найдем \( V_3 \):

\[ V_3 = \frac{3}{\frac{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2}}{3 - \frac{1}{V_1} - \frac{1}{V_2}}} = \frac{3}{\frac{V_1V_2}{V_1 + V_2}} \]

Теперь мы можем найти время, за которое автомобиль проехал первую треть пути. Время \( T_1 \) для первой трети пути выражается как отношение расстояния к скорости:

\[ T_1 = \frac{D/3}{V_1} = \frac{D}{3V_1} \]

Теперь подставим значение \( V_3 \) в это выражение:

\[ T_1 = \frac{D}{3 \cdot \frac{3}{\frac{V_1V_2}{V_1 + V_2}}} = \frac{D(V_1 + V_2)}{9V_2} \]

Так как мы знаем, что весь путь занимает 3 часа, мы можем написать уравнение:

\[ T_1 + T_2 + T_3 = 3 \]

где \( T_2 \) и \( T_3 \) - времена для второй и третьей трети пути. Подставим выражение для \( T_1 \) и \( V_3 \) и решим уравнение относительно \( T_1 \):

\[ \frac{D(V_1 + V_2)}{9V_2} + \frac{D}{3V_2} + \frac{D}{V_3} = 3 \]

Подставим выражение для \( V_3 \):

\[ \frac{D(V_1 + V_2)}{9V_2} + \frac{D}{3V_2} + \frac{D}{\frac{3}{\frac{V_1V_2}{V_1 + V_2}}} = 3 \]

Упростим это уравнение и найдем \( T_1 \). После этого мы сможем выразить ответ в минутах.