Question

Поогите пожалуйста решить задачу ( 40 пунктов ). Через блок радиусом 0,2м переброшена нерастяжимая нить с одинаковыми грузиками на концах. Ось блока поднимаеться со скоростью 1м\с, а один из грузиков опускается со скоростью 2м\с ( относительно земли ). Чему равна угловая скорость вращения блока?

Answer 1

Скорость опускающегося грузика относительно блока 2+1=3 м/с
значит линейная скорость обода блока относительно оси v=3 м/с
значит угловая скорость блока w = v/r = 3/0,2 =15 рад/сек

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса.

У нас есть блок радиусом 0,2 м с грузиками на концах нерастяжимой нити. Ось блока поднимается со скоростью 1 м/с, и один из грузиков опускается со скоростью 2 м/с относительно земли.

Пусть \( r \) - радиус блока, \( v_1 \) - скорость подъема оси блока, \( v_2 \) - скорость опускания грузика.

Угловая скорость вращения блока можно найти, учитывая, что момент импульса системы должен сохраняться. Момент импульса для системы сосредоточенных масс можно выразить как произведение момента инерции системы на угловую скорость вращения этой системы.

Момент импульса системы \( L = I \cdot \omega \),

где \( I \) - момент инерции блока, а \( \omega \) - угловая скорость.

Момент инерции \( I \) можно выразить для системы двух грузиков на концах нерастяжимой нити:

\[ I = 2 \cdot m \cdot r^2 \]

где \( m \) - масса каждого грузика, \( r \) - радиус блока.

Теперь используем закон сохранения момента импульса. Из условия задачи мы знаем, что сумма моментов импульса до и после изменения должна оставаться равной:

\[ L_{\text{до}} = L_{\text{после}} \]

Момент импульса до изменения: \( L_{\text{до}} = I \cdot \omega_{\text{до}} \)

Момент импульса после изменения: \( L_{\text{после}} = I \cdot \omega_{\text{после}} \)

С учетом скоростей подъема и опускания:

\[ L_{\text{до}} = I \cdot \omega_{\text{до}} = 2 \cdot m \cdot r^2 \cdot \omega_{\text{до}} \] \[ L_{\text{после}} = I \cdot \omega_{\text{после}} = 2 \cdot m \cdot r^2 \cdot \omega_{\text{после}} \]

Скорость опускания грузика создает обратное движение, что изменяет угловую скорость. Момент импульса после изменения остается тем же, что и до изменения:

\[ 2 \cdot m \cdot r^2 \cdot \omega_{\text{до}} = 2 \cdot m \cdot r^2 \cdot \omega_{\text{после}} \]

Отсюда следует, что \( \omega_{\text{до}} = \omega_{\text{после}} \).

Таким образом, угловая скорость вращения блока остается неизменной и равна угловой скорости опускания грузика, то есть \( \omega = \frac{v_2}{r} \).

Подставим известные значения:

\[ \omega = \frac{v_2}{r} = \frac{2 \, \text{м/с}}{0,2 \, \text{м}} = 10 \, \text{рад/с} \]

Таким образом, угловая скорость вращения блока составляет 10 радиан в секунду.