Question

Шарик с высоты 2 м вертикально падает на наклонную плоскость и упруго отражается. На каком расстоянии от места падения он снова ударится о ту же плоскость (расстояние считать вдоль наклонной плоскости)? Угол наклона плоскости к горизонту равен 30o. Ответ выразить в метрах, с точностью до целых.

Answer 1

После удара летит по параболе.  

Находите её уравнение, уравнение плоскости, ищете пересечение

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения энергии и импульса.

Первым делом найдем скорость шарика перед ударом о плоскость. Мы можем использовать закон сохранения энергии, согласно которому полная механическая энергия системы остается постоянной. Изначально шарик имеет потенциальную энергию, равную mgh, где m - масса шарика, g - ускорение свободного падения, h - высота падения. После упругого отражения шарик имеет только кинетическую энергию.

Таким образом, масса шарика сокращается, и мы можем записать уравнение сохранения энергии:

mgh = (1/2)mv^2,

где v - скорость шарика перед ударом о плоскость.

Сокращая m, получаем:

gh = (1/2)v^2.

Теперь найдем горизонтальную скорость шарика перед ударом. Мы можем использовать закон сохранения импульса в горизонтальном направлении. Поскольку нет горизонтальных сил, действующих на шарик, его горизонтальный импульс остается неизменным.

Пусть V - горизонтальная скорость шарика перед ударом. Тогда импульс шарика до удара равен mV, а после удара - mv, где v - вертикальная скорость шарика перед ударом.

Используя тригонометрические соотношения, связывающие горизонтальную и вертикальную скорости, получаем:

V = v / cosθ,

где θ - угол наклона плоскости к горизонту.

Подставляя это выражение в уравнение сохранения импульса, получаем:

mV = mv / cosθ.

Сокращая m, получаем:

V = v / cosθ.

Теперь мы можем найти время, за которое шарик достигнет плоскости. Для этого мы можем использовать уравнение движения для вертикальной координаты:

h = (1/2)gt^2,

где t - время падения шарика с высоты h.

Решая это уравнение относительно t, получаем:

t = √(2h / g).

Теперь мы можем найти горизонтальное расстояние, которое пройдет шарик за это время:

d = Vt = (v / cosθ) √(2h / g).

Подставляя изначальное выражение для v, получаем:

d = (gh / (1/2)gh) √(2h / g) = 2h.

Таким образом, шарик снова ударится о ту же плоскость на расстоянии 2 метра от места падения.