Question

Помогите решить задачу. Доска длиной L=3 м и массой m1=20 кг опирается на уступ так, что она составляет с горизонтом угол 30 градусов - а. Расстояние от свободного конца доски до уступа l = 1 м. Плоский диск толкнули вверх по доске со скоростью v0/ При каком минимальном значении скорости v0 нижний конец доски оторвется от пола? масса диска m2=10 кг. Трение отсутствует.

Answer 1

Диск при сообщении ему начальной скорости v0 пройдет до уступа расстояние (L - l) и еще некоторое расстояние x, после чего остановится. запишем закон сохранения энергии и выразим высоту подъема через длину части доски и синус угла ее наклона к горизонту:

(m v0²)/2 = mgh
sinα = h/(L - l + x)

решая эту систему уравнений нетрудно получить, что

x = (v0²/(2g sinα)) - (L - l) (!)

чтобы нижний конец доски оторвался от пола, нам необходимо, чтобы момент силы давления диска был больше, либо равен моменту силы тяжести доски

выберем за ось вращения крайнюю точку уступа (сила нормальной реакции опоры в ней нам не задана, значит, ее нужно исключить)

M(диск) ≥ M(доска)

пусть доска однородна. тогда центр ее тяжести находится в точке L/2 от обоих концов. плечо этой силы равно ((L/2) - l)

сила давления диска на доску равна по 3 закону Ньютона силе нормальной реакции опоры N = mg cosα. плечо этой силы равно расстоянию x, которое мы выразили из ЗСЭ

m2 g cosα x ≥ m1 g ((L/2) - l)

объединяя полученное неравенство с выражением (!), получаем

$v_{0} \geq \sqrt{2gsin \alpha ((L-l)+ \frac{ m_{1} ( \frac{L}{2}-l) }{m_{2} cos \alpha }) }=5.56$

минимальная скорость равна v0min ≈ 5.56 м/c