Question

Даны три сообщающихся сосуда с площадью поперечного сечения S = 0.02 м^2, заполненные керосином до некоторой высоты. В средний помещают гирю массой m= 4 к г на невесомой площадочке, заполняющей всё сечение сосуда. В начальный момент зазора между площадочкой и керосином нет, а начальная скорость гири с площадочкой равна нулю. Определите, какое количество теплоты выделилось до установления равновесия. Ответ дайте в единицах СИ и округлите до сотых. Плотность керосина = 800кг/м^3

Answer 1

Гиря продавит уровень в среднем сосуде гидравлической системы, при этом в крайних сосудах уровень керосина поднимется на некоторую дополнительную к начальному уровню высоту $\Delta h .$

В силу несжимаемости керосина, какой его объём отойдёт из среднего сосуда, такой же объём и поступит в крайние сосуды. Так как крайние сосуды одинаковы, то в каждый из них отойдёт половина объёма керосина, отошедшего из центрального сосуда. Объём в каждом сосуде пропорционален его высоте, поскольку сечение всех сосудов одинаковы. А это значит, что подъём уровня керосина в крайних сосудах будет вдвое меньше, чем опускание его уровня в центральном сосуде с гирей. Итак, уровень керосина в центральном сосуде опустится на $2 \Delta h .$

В целом, уровни керосина в крайних сосудах будут выше его опустившегося уровня в центральном сосуде на $3 \Delta h .$

Этот добавочный столб жидкости $3 \Delta h$ будет создавать такое же дополнительное давление, как и гиря, находящаяся на нижнем уровне, поскольку, в конечном счёте, вся система придёт в гидравлическое равновесие.

Давление добавочного столба жидкости :    $3 \rho g \Delta h ,$

Давление гири :    $\frac{mg}{S} ,$

Значит:    $3 \rho g \Delta h = \frac{mg}{S}$ ;

Значит:    $3 \rho \Delta h = \frac{m}{S}$                 формула [1] ;

Заметим, что $\rho S \Delta h = \frac{m}{3}$ – это масса керосина, вымещенного в каждый из крайних сосудов.

А всего из центрального сосуда было вымещено $\frac{2}{3} m$ – керосина.

Центр масс вымещенного из центрального сосуда керосина находился ниже начального уровня на $\Delta h .$

Центр масс вымещенного в крайние сосуды керосина находится выше начального уровня на $\frac{ \Delta h }{2} .$

Таким образом, в общей сложности вымещенный керосин $\frac{2}{3} m$ поднялся на $\frac{3}{2} \Delta h ,$ а значит, потенциальная энергия керосина увеличилась на $\Delta U_K = \frac{2}{3} m g \cdot \frac{3}{2} \Delta h = m g \Delta h .$

Потенциальная энергия опустившейся на $2 \Delta h ,$ гири изменилась (уменьшилась) на $\Delta U_\Gamma = - 2 m g \Delta h .$

Общая механическая энергия в системе изменилась (уменьшилась) на величину общего изменения потенциальной энергии в системе: $\Delta U = \Delta U_K + \Delta U_\Gamma = - m g \Delta h .$

Это уменьшение общей механической энергии можно объяснить только превращением части механической энергии в тепловую, с промежуточным её превращением в кинетическую, когда гидравлическая система покачивалась и "побулькивала".

Итак: $\Delta Q = | \Delta U | = m g \Delta h .$


Перемножим последнее уравнение на формулу [1] и получим, что:

$3 \rho \Delta h \Delta Q = m g \Delta h \cdot \frac{m}{S}$ ;

$3 \rho \Delta Q = \frac{ m^2 g }{S}$ ;

$\Delta Q = \frac{ m^2 g }{ 3 S \rho }$ ;


Подставим заданные значения, имея ввиду, что плотность керосина $\rho \approx 800$ кг/м³ :

$\Delta Q \approx \frac{ 4^2 \cdot 9.8 }{ 3 \cdot 0.02 \cdot 800 }$ Дж $= \frac{ 16 \cdot 9.8 }{ 3 \cdot 16 }$ Дж $= \frac{ 9.8 }{ 3 }$ Дж $\approx 3.3$ Дж ;



О т в е т : $\Delta Q \approx 3.3$ Дж .

Answer 2

Для расчета количества выделившейся теплоты необходимо использовать закон сохранения энергии.

Первоначально, когда гирина площадочке опускается и устанавливается на дне сосуда, полная механическая энергия системы (кинетическая + потенциальная) равна нулю. Когда гирина опускается, ее потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая энергия увеличивается. Это компенсируется увеличением потенциальной энергии керосина и его внутренней энергии.

Потенциальная энергия гири: Ep1 = mgh, где m - масса гири, g - ускорение свободного падения, h - высота опускания гири. Кинетическая энергия гири: Ek1 = mv^2/2, где v - скорость гири при ее опускании.

Вскоре после погружения гири, скорость гири становится равной 0 (потому что она приходит в состояние равновесия), а масса гири начинает проталкивать определенный объем керосина вверх. Высота, на которую керосин был поднят, равна h (высоте опускания гири).

Теплота, выделяющаяся при поднятии керосина, можно выразить через работу, совершаемую гирей: Q = mgh.

Подставляя значения, получаем: Q = (4 кг) * (9,8 м/с^2) * h

Остается выразить высоту h через объем поднятого керосина. Объем kеросина, вытесненного гирей, равен объему занимаемому гирей: V = m / плотность_керосина

Подставляя значения, получаем: V = (4 кг) / (800 кг/м^3) = 0,005 м^3

Таким образом, объем поднятого керосина равен 0,005 м^3. Это означает, что керосин поднялся на высоту h.

Теперь можно выразить теплоту Q через этот объем: Q = (4 кг) * (9,8 м/с^2) * h = (4 кг) * (9,8 м/с^2) * V / (0,02 м^2)

Подставляя значения, получаем: Q = (4 кг) * (9,8 м/с^2) * 0,005 м^3 / (0,02 м^2) = 4,9 Дж

Таким образом, количество выделившейся теплоты равно 4,9 Дж.