Question

Сила сопротивления воздуха, действующая на капли дождя, пропорциональна квадрату скорости и квадрату их радиуса F=kr^2 v^2 , где k=1,3 кг/м^3 . Найти установившуюся скорость капли радиуса 1 мм , падающей с большой высоты. Ответ выразить в м/с и округлить до одной цифры после запятой.

Answer 1

При установившейся скорости падения сила сопротивления воздуха равна весу капли. Таким образом, вначале найдем вес капли. Вес капли равен произведению объёма капли на плотность воды и на ускорение свободного падения, т.е. Рк = 4*pi*r^3*(плотность воды)*g/3. Так как вес капли равен силе сопротивления воздуха то   4*pi*r^3*(плотность воды)*g/3 = kr^2 V^2. Или 4*pi*r*(плотность воды)*g/3 = k*V^2. Отсюда V^2 = 4*pi*r*(плотность воды)*g/(3* k) = 4*3,14…*0,001*1000*10/(3*1,3) = 32,22146. И V = корень из 32,22146 = 5,676..м/с или округленно 5,7 м/с

Answer 2

Для нахождения установившейся скорости капли дождя, используем уравнение баланса силы сопротивления воздуха и силы тяжести:

\[ F_{\text{сопротивления}} = F_{\text{тяжести}} \]

Сила сопротивления воздуха определяется уравнением \( F = k r^2 v^2 \), а сила тяжести - весом капли - \( F = mg \), где \( m \) - масса капли, а \( g \) - ускорение свободного падения.

Масса капли определяется через объем и плотность: \( m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \), где \( \rho \) - плотность материала капли (для воды примерно \( 1000 \, \text{кг/м}^3 \)).

Теперь можно записать уравнение баланса сил:

\[ kr^2v^2 = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g \]

Разрешим относительно скорости \( v \):

\[ v = \sqrt{\frac{4}{3}\frac{\pi r \rho g}{k}} \]

Подставим известные значения и решим уравнение:

\[ v = \sqrt{\frac{4}{3}\frac{\pi \cdot (1 \, \text{мм}/1000)^3 \cdot 1000 \, \text{кг/m}^3 \cdot 9.8 \, \text{м/s}^2}{1.3 \, \text{кг/m}^3}} \]

\[ v \approx 3.3 \, \text{м/с} \]

Ответ: установившаяся скорость капли дождя радиусом 1 мм, падающей с большой высоты, составляет примерно \( 3.3 \, \text{м/с} \), округленная до одной цифры после запятой.