Question

Определить неопределенность скорости электрона, если неточность определения его координаты равна 5 мкм ( с формулами и пояснениями)

Answer 1

Решение задачи смотрите во вложении

Answer 2

Неопределенность скорости электрона определяется принципом неопределенности Гейзенберга, который утверждает, что невозможно одновременно точно измерить и координату, и импульс (или, в данном случае, скорость) микроскопической частицы. Математически принцип неопределенности формулируется следующим образом:

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

где: - \( \Delta x \) - неопределенность координаты, - \( \Delta p \) - неопределенность импульса (масса электрона умноженная на неопределенность его скорости), - \( \hbar \) - убранная постоянная Планка, равная \(\frac{h}{2\pi}\), где \( h \) - постоянная Планка (приблизительно \(6.626 \times 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с}\)).

Ваш вопрос связан с неопределенностью координаты электрона, которая равна \( \Delta x = 5 \, \mu\text{м} \) (микрометров). Теперь мы можем использовать принцип неопределенности, чтобы найти неопределенность импульса и, следовательно, неопределенность скорости электрона.

\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]

\[ 5 \times 10^{-6} \, \text{м} \cdot \Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2\pi} \]

Теперь решим это уравнение относительно неопределенности импульса \( \Delta p \).

\[ \Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2\pi \cdot 5 \times 10^{-6}} \]

\[ \Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-34}}{10^{-5}\pi} \]

\[ \Delta p \geq \frac{6.626 \times 10^{-29}}{\pi} \]

\[ \Delta p \geq 2.108 \times 10^{-29} \, \text{кг} \cdot \text{м/s} \]

Теперь, зная неопределенность импульса, мы можем использовать следующее соотношение для нахождения неопределенности скорости электрона:

\[ \Delta v = \frac{\Delta p}{m} \]

где \( m \) - масса электрона (приблизительно \(9.109 \times 10^{-31} \, \text{кг}\)).

\[ \Delta v \geq \frac{2.108 \times 10^{-29}}{9.109 \times 10^{-31}} \]

\[ \Delta v \geq 23.18 \, \text{м/с} \]

Таким образом, неопределенность скорости электрона составляет примерно \(23.18 \, \text{м/с}\).