Question

На дне реки лежит камень. Человеку, смотрящему вертикально вниз, камень кажется расположенным на глубине h=1 м. Какова истинная глубина реки? Показатель преломления воды n=1,33. Для малых углов считайте tg α sinα.

Answer 1

Нужно сделать рисунок и рассмотреть 2 треугольника

Answer 2

Это задача на определение глубины реки с помощью закона преломления света, который также применим к преломлению воды. Известно, что при переходе из одной среды в другую свет (или в данном случае, видимый объект) изменяет свое направление из-за разницы в показателях преломления сред.

Формула для закона преломления света (или закона Снеллиуса) выглядит как: \(\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\beta}} = \frac{n_2}{n_1}\), где \(\alpha\) - угол падения, \(\beta\) - угол преломления, \(n_1\) и \(n_2\) - показатели преломления первой и второй сред соответственно.

В данном случае, угол, под которым наблюдается камень, изменяется из-за преломления света (или в данном контексте, из-за преломления воды), когда свет проходит из воды в воздух. Мы знаем, что \(n = 1,33\) для воды.

Пусть \(h\) - глубина, которая наблюдается из воздуха, \(d\) - истинная глубина реки. Тогда мы можем записать соотношение для углов:

\(\frac{\sin{90^\circ}}{\sin{\alpha}} = \frac{n}{1}\) (воздух считается с показателем преломления 1)

Так как \(\sin{90^\circ} = 1\), формула упрощается до \(\frac{1}{\sin{\alpha}} = n\), что равносильно \(\sin{\alpha} = \frac{1}{n}\).

Теперь, используя определение тангенса угла как \(\tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\sqrt{1 - \sin^2{\alpha}}}\), и с учетом того, что для малых углов можно приблизить \(\tan{\alpha} \approx \alpha\):

\(\frac{1}{n} \approx \alpha\)

Таким образом, \(\alpha \approx \frac{1}{n}\).

Теперь, зная, что \(h = 1\) м (глубина, видимая из воздуха), и что \(\alpha \approx \frac{1}{n}\), мы можем выразить истинную глубину \(d\) через \(h\):

\(d = \frac{h}{\frac{1}{n}} = h \cdot n\)

Подставим значения: \(d = 1 \cdot 1,33 = 1,33\) метра.

Истинная глубина реки составляет 1,33 метра.