Question

Горизонтальный диск медленно раскручивают вокруг вертикальной оси. На поверхности диска находится небольшое тело, которое вращается вместе с диском. Когда частота вращения диска достигает значения n = 30 об/мин, тело начинает скользить по диску. Найдите, на каком расстоянии от оси вращения находилось тело, если коэффициент трения между телом и поверхностью диска равен µ = 0,2.

Answer 1

Тело начнет скользить по диску, когда центробежная сила инерции станет чуть больше силы трения:

m*V²/R = μ*m*g
V²=μ*g*R

Скорость:
V=2*π*R*n 
Тогда:
4*π²*R²*n²=μ*g*R
R = μ*g / (4*π²*n²)

Выразим n в СИ:
n = 30 об/мин = 30 / 60 об/с = 0,5 об/с

Тогда:
R=0,2*10 / (4*3,14²*0,5²) = 0,20 м   или 20 сантиметров

Answer 2

Эта задача может быть решена с использованием условия начала скольжения на поверхности вращающегося диска.

Сначала определим условие начала скольжения на поверхности диска. Ускорение, необходимое для начала скольжения, равно центростремительному ускорению.

Центростремительное ускорение \(a_{\text{ц}}\) определяется как \(a_{\text{ц}} = r \cdot \omega^2\), где \(r\) - радиус окружности, по которой движется тело, а \(\omega\) - угловая скорость в радианах в секунду.

Угловая скорость \(\omega\) связана с частотой вращения \(n\) следующим образом: \(\omega = 2 \pi n\).

Таким образом, центростремительное ускорение можно записать как \(a_{\text{ц}} = r \cdot (2 \pi n)^2\).

Коэффициент трения \(\mu = 0.2\).

При условии начала скольжения сила трения \(\text{Т} = \mu \cdot \text{Н}\), где \(\text{Н}\) - нормальная реакция.

Нормальная реакция \(\text{Н}\) равна силе тяжести \(mg\) для тела на поверхности диска.

Таким образом, уравнение для начала скольжения выглядит следующим образом:

\(\mu \cdot \text{Н} = m \cdot a_{\text{ц}}\),

где \(m\) - масса тела.

Теперь можно выразить нормальную реакцию и радиус \(r\):

\(\text{Н} = mg\), \(a_{\text{ц}} = r \cdot (2 \pi n)^2\).

Используя условие начала скольжения и уравнение для центростремительного ускорения, можно определить радиус \(r\):

\(\mu \cdot mg = m \cdot r \cdot (2 \pi n)^2\).

Теперь можно выразить \(r\):

\(r = \frac{\mu \cdot g}{(2 \pi n)^2}\).

Теперь, подставляя известные значения (\(\mu = 0.2\), \(g \approx 9.8 \, \text{м/c}^2\), \(n = 30 \, \text{об/мин}\)), мы можем найти \(r\):

\(r = \frac{0.2 \cdot 9.8}{(2 \pi \cdot 30 / 60)^2}\).

После вычислений \(r \approx 0.133 \, \text{м}\). Таким образом, тело находилось на расстоянии приблизительно \(0.133 \, \text{м}\) от оси вращения.