Question

Материальная точка движется по окружности радиуса 10м согласно уравнению s=10t^2-0,1t^3 (расстояние – в метрах, время – в секундах). Найти дельта фи, угловую скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения в момент времени t= 10 с.

Answer 1

V=ds/dt=10+0.3*t^2
an=v^2/R
at=dv/dt=0.6*t
a=корень (an^2+at^2)

Answer 2

Решение:

Для нахождения дельта фи (изменение угла), угловой скорости, тангенциального, нормального и полного ускорений в момент времени t = 10 секунд, мы должны использовать данные уравнения движения и их производные.

Уравнение движения дано как s = 10t^2 - 0,1t^3, где s - расстояние в метрах, t - время в секундах.

Нахождение дельта фи (изменение угла):

Для нахождения дельта фи (изменение угла) воспользуемся формулой:

delta_phi = s / r, где r - радиус окружности.

Подставляя значения, получаем:

delta_phi = (10t^2 - 0,1t^3) / 10.

Подставим t = 10 секунд:

delta_phi = (10 * (10^2) - 0,1 * (10^3)) / 10.

Вычислим значение:

delta_phi = (1000 - 100) / 10 = 900 / 10 = 90 радиан.

Таким образом, дельта фи (изменение угла) в момент времени t = 10 секунд равна 90 радианам.

Нахождение угловой скорости:

Угловая скорость (omega) определяется как производная угла по времени:

omega = d(phi) / dt, где d(phi) - изменение угла, dt - изменение времени.

В данном случае, угол phi равен delta_phi, поэтому:

omega = d(delta_phi) / dt.

Дифференцируем уравнение delta_phi по времени:

omega = d((10t^2 - 0,1t^3) / 10) / dt.

Вычислим производную:

omega = (20t - 0,3t^2) / 10.

Подставим t = 10 секунд:

omega = (20 * 10 - 0,3 * (10^2)) / 10.

Вычислим значение:

omega = (200 - 30) / 10 = 170 / 10 = 17 рад/сек.

Таким образом, угловая скорость в момент времени t = 10 секунд равна 17 рад/сек.

Нахождение тангенциального ускорения:

Тангенциальное ускорение (a_t) определяется как производная скорости по времени:

a_t = dv / dt, где dv - изменение скорости, dt - изменение времени.

В данном случае, скорость v равна производной расстояния s по времени:

v = ds / dt.

Дифференцируем уравнение s по времени:

v = d(10t^2 - 0,1t^3) / dt.

Вычислим производную:

v = (20t - 0,3t^2).

Теперь найдем тангенциальное ускорение:

a_t = dv / dt = d((20t - 0,3t^2) / dt.

Дифференцируем уравнение v по времени:

a_t = (20 - 0,6t).

Подставим t = 10 секунд:

a_t = (20 - 0,6 * 10) = 20 - 6 = 14 м/с^2.

Таким образом, тангенциальное ускорение в момент времени t = 10 секунд равно 14 м/с^2.

Нахождение нормального ускорения:

Нормальное ускорение (a_n) определяется как квадрат угловой скорости (omega) умноженный на радиус окружности (r):

a_n = omega^2 * r.

Подставим значения:

a_n = (17^2) * 10.

Вычислим значение:

a_n = 289 * 10 = 2890 м/с^2.

Таким образом, нормальное ускорение в момент времени t = 10 секунд равно 2890 м/с^2.

Нахождение полного ускорения:

Полное ускорение (a) определяется как квадрат суммы тангенциального ускорения (a_t) и нормального ускорения (a_n):

a = sqrt(a_t^2 + a_n^2).

Подставим значения:

a = sqrt((14^2) + (2890^2)).

Вычислим значение:

a = sqrt(196 + 8352100) = sqrt(8352296) ≈ 2890,1 м/с^2.

Таким образом, полное ускорение в момент времени t = 10 секунд примерно равно 2890,1 м/с^2.