Question

Цилиндр массой 5 кг и радиусом 15 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения цилиндра имеет вид: φ(t) = 1 + 6t2 - t3. Найти закон изменения момента сил, действующих на цилиндр, и их величину в момент времени 3 с. Вычислить момент инерции цилиндра, если ось вращения будет проходить по его поверхности.

Answer 1

Задача еще актуальна, или уже решили ?

Answer 2

Решение:

Для начала найдем ускорение и скорость вращения цилиндра.

Ускорение цилиндра можно найти, взяв вторую производную уравнения вращения по времени:

φ''(t) = 12t - 3

Подставим значение времени t = 3 секунды:

φ''(3) = 12 * 3 - 3 = 33 рад/с²

Теперь найдем скорость вращения цилиндра, интегрируя ускорение по времени:

ω(t) = ∫ φ''(t) dt = ∫ (12t - 3) dt

ω(t) = 6t² - 3t + C

Чтобы найти константу интегрирования C, подставим начальное условие, что при t = 0, скорость вращения равна нулю:

ω(0) = 6 * 0² - 3 * 0 + C = 0

Отсюда получаем, что C = 0. Таким образом, закон изменения скорости вращения цилиндра имеет вид:

ω(t) = 6t² - 3t

Теперь можно найти момент силы, действующий на цилиндр, используя известный закон изменения момента силы:

M(t) = I * α(t)

где M(t) - момент силы, I - момент инерции цилиндра, α(t) - угловое ускорение.

Момент инерции цилиндра вокруг его оси, проходящей по его поверхности, можно найти по формуле:

I = 0.5 * m * r²

где m - масса цилиндра, r - радиус цилиндра.

Подставим известные значения:

I = 0.5 * 5 кг * (0.15 м)² = 0.1125 кг * м²

Теперь можем найти момент силы в момент времени t = 3 секунды:

M(3) = I * α(3) = I * φ''(3)

M(3) = 0.1125 кг * м² * 33 рад/с² = 3.7125 Н * м

Таким образом, момент силы, действующей на цилиндр в момент времени 3 секунды, составляет 3.7125 Н * м.