Question

Бак, заполненный водой до высоты 1 м, пробивает пуля на высоте 10 см. На какое расстояние от бака будет бить струя воды? Где следовало бы сделать отверстие, чтобы она била на максимальное расстояние?

Answer 1

Фо́рмула Торриче́лли – связывает скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием Формула Торричелли утверждает, что v скорость истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубине h от поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты , то есть v=корень(2gh) где g– ускорение свободного падения. Последнее выражение получено в результате приравнивания приобретённой кинетической энергии mv^2/2 и потерянной потенциальной энергии mgh

Н - высота бака
х - высота места пробоины
v=v(x)=корень(2g(H-x)) - скорость струи в месте пробоины
зависимость  вытекает из формулы торичелли

дальше чистая кинематика
t=t(x) = корень(2x/g) - время падения струи
r=r(x) = v(x)*t(x) = корень(2g(H-x))*корень(2x/g) =2корень((H-x)*x)) - расстояние, куда достает струя от бака
при х=0,1 r(x=0,1)=2*корень((1-0,1)*0,1)=2*0,3=0,6 м - это ответ
2)
r(x)=2корень((H-x)*x)) задача на локальный экстремум (максимум) при 0<х<H
r`=2*1/2*1/корень((H-x)*x)) * (H-2x)
r`=0 при (H-2x) = 0, т.е при х=H/2 - это точка локального максимума,
ответ при отверстии на высоте х=H/2

Answer 2

Calculation of the Distance the Water Jet Will Reach

To determine the distance at which the water jet will reach, we can use the principle of conservation of energy. The potential energy of the water at the height of 1 meter is converted into kinetic energy as the water jet exits the hole. We can equate the potential energy to the kinetic energy to find the velocity of the water jet, and then use this velocity to calculate the distance it will reach.

The potential energy of the water at a height of 1 meter can be calculated using the formula:

Potential energy = mass * gravity * height

The kinetic energy of the water jet can be calculated using the formula:

Kinetic energy = (1/2) * mass * velocity^2

Since the potential energy is equal to the kinetic energy, we can equate the two formulas:

mass * gravity * height = (1/2) * mass * velocity^2

Simplifying the equation, we get:

velocity = sqrt(2 * gravity * height)

Now, we can calculate the velocity of the water jet using the given height of 10 cm (0.1 m):

velocity = sqrt(2 * 9.8 m/s^2 * 0.1 m) = 1.4 m/s To calculate the distance the water jet will reach, we can use the formula:

distance = velocity * time

Since we don't have the time, we cannot determine the exact distance the water jet will reach without this information.

Optimal Placement of the Hole for Maximum Distance

To achieve the maximum distance for the water jet, the hole should be placed at the bottom of the tank. This is because the water will have the maximum potential energy at the highest point in the tank, and placing the hole at the bottom will allow the water to convert all of its potential energy into kinetic energy as it exits the hole. Placing the hole at any other height will result in a lower potential energy and, consequently, a shorter distance for the water jet.

In summary, the distance the water jet will reach depends on the velocity of the water jet, which is determined by the height of the water in the tank. To achieve the maximum distance, the hole should be placed at the bottom of the tank.

Please note that without the time information, we cannot provide an exact distance for the water jet.