Question

Замкнутая цепочка массой 157 г надета «с натягом» на жесткий вертикальный цилиндр радиусом 5 см. Натяжение цепочки равно 3 Н. До какой угловой скорости надо раскрутить цилиндр, чтобы цепочка соскользнула с него вниз? Коэффициент трения цепочки о цилиндр 0,1, g = 10 м/с2. Принять п = 3,14.

Answer 1

  Поскольку в условии указано, что жесткость цилиндра велика, то при раскручивании он не деформируется, т.е. длина цепочки и ее натяжение T не меняются.
   Длина цепочки 2πR, так как масса по цепочке распределена равномерно, то ее плотность
m/(2πR) = Δm/(RΔα) или Δm = mΔα/(2π),
здесь RΔα = l, малый элемент дуги, Δα – угол, под которым этот элемент виден из центра окружности
На элемент цепочки массойΔm = mΔα/(2π) действуют равнодействующая сил натяжения, равная TΔα, сила нормальной реакции цилиндра N, сила тяжести Δmg и сила трения Fmp. Второй закон Ньютона в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления имеет вид
TΔα – N = Δmω2R, Fmp – Δmg = 0.
   Учитывая, что в момент начала проскальзывания
Fmp = μN,
Окончательно получаем
T = (m/(2&pi))(g/μ + ω2R).
   Подставим численные значения
   T = (0,157/(2•3,14))(10/0,1 + 202•0,05) = 3 H..

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы Ньютона и уравнение равновесия моментов.

Первым шагом найдем момент инерции цепочки относительно оси вращения (цилиндра). Момент инерции цепочки можно найти по формуле:

I = (m * R^2) / 2

где m - масса цепочки, R - радиус цилиндра.

Подставляя известные значения, получаем:

I = (0,157 кг * (0,05 м)^2) / 2 = 0,00019625 кг * м^2

Далее, найдем силу трения, действующую на цепочку. Сила трения можно найти по формуле:

Fтр = μ * N

где μ - коэффициент трения, N - нормальная сила.

Нормальная сила равна силе тяжести, направленной вдоль цилиндра:

N = m * g = 0,157 кг * 10 м/с^2 = 1,57 Н

Тогда сила трения будет:

Fтр = 0,1 * 1,57 Н = 0,157 Н

Теперь мы можем найти момент силы трения, действующей на цепочку:

Mтр = Fтр * R

Mтр = 0,157 Н * 0,05 м = 0,00785 Н * м

И, наконец, найдем момент силы натяжения цепочки:

Mн = T * R

где T - сила натяжения цепочки.

Mн = 3 Н * 0,05 м = 0,15 Н * м

Теперь мы можем использовать уравнение равновесия моментов:

ΣM = I * α

где ΣM - сумма моментов, α - угловое ускорение.

ΣM = Mтр - Mн

0,00785 Н * м - 0,15 Н * м = 0,00019625 кг * м^2 * α

α = (0,00785 Н * м - 0,15 Н * м) / 0,00019625 кг * м^2 = -0,759 рад/с^2

Отрицательный знак означает, что цепочка будет двигаться вниз. Теперь мы можем найти угловую скорость, при которой цепочка начнет соскользить с цилиндра:

ω^2 = ω0^2 + 2 * α * θ

где ω0 - начальная угловая скорость (равна 0), θ - угол поворота цилиндра.

Так как начальная угловая скорость равна 0, уравнение упрощается до:

ω^2 = 2 * α * θ

Подставляя известные значения, получаем:

ω^2 = 2 *