Question

Емкость конденсатора в колебательном контуре равна 50 мкФ. Зависимость силы тока в катушке индуктивности от времени имеет вид: I = asin(bt), где а = 1,5 А и b = 500 с^-1. Найдите амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе.

Answer 1

XL=1/b*c=1/500*50*10^-6=40 Ом
Um=a*XL=1,5*40=60 В

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться уравнением тока в индуктивности в колебательном контуре:

\[ I(t) = a \sin(bt) \]

где \( a = 1.5 \, \text{А} \) и \( b = 500 \, \text{с}^{-1} \).

Сила тока в колебательном контуре может быть представлена как производная напряжения на конденсаторе по времени:

\[ I(t) = C \frac{dU(t)}{dt} \]

где \( C \) - емкость конденсатора, а \( U(t) \) - напряжение на конденсаторе в момент времени \( t \).

Так как \( I(t) = a \sin(bt) \), мы можем найти производную \( \frac{dU(t)}{dt} \) и затем интегрировать ее, чтобы найти напряжение \( U(t) \).

1. Найдем производную \( \frac{dU(t)}{dt} \): \[ I(t) = C \frac{dU(t)}{dt} \] \[ a \sin(bt) = C b \cos(bt) \]

2. Решим уравнение относительно производной \( \frac{dU(t)}{dt} \): \[ \frac{dU(t)}{dt} = \frac{a}{Cb} \sin(bt) \]

3. Теперь интегрируем это выражение, чтобы найти напряжение \( U(t) \): \[ U(t) = -\frac{a}{Cb} \cos(bt) + D \]

где \( D \) - постоянная интегрирования. Для нахождения \( D \), воспользуемся начальным условием \( U(0) = U_0 \), где \( U_0 \) - начальное напряжение на конденсаторе. В данной задаче принято \( U_0 = 0 \), поэтому \( D = \frac{a}{Cb} \).

Таким образом, окончательное выражение для напряжения на конденсаторе будет:

\[ U(t) = -\frac{a}{Cb} \cos(bt) + \frac{a}{Cb} \]

Подставим значения \( a \), \( b \) и \( C \) в это выражение:

\[ U(t) = -\frac{1.5}{50 \times 500} \cos(500t) + \frac{1.5}{50 \times 500} \]

Вычислите это выражение для конкретных значений времени, чтобы получить амплитуду колебаний напряжения на конденсаторе.