Question

Гирька массы m, привязанная к резиновому шнуру, вращается в горизонтальной плоскости с частотой n. Шнур составляет с вертикалью угол альфа. Найти длину нерастянутого шнура Lo, если известно, что для растяжения его до длины L требуется сила F.

Answer 1

На гирьку, вращающуюся в вертикальной плоскости( конический маятник) действуют силы тяжести, натяжения
в векторном виде

$ma=T+mg$

в проекции на ось х
$ma=Tsin \alpha$

проекция на ось у
$0=Tcos \alpha -mg$

где $T=k\Delta L$

$\Delta L=Lm-L0$ изменение длины шнура во время вращения

$a=\omega ^{2} R$

$\omega =2 \pi n$

$Lm=R sin \alpha$ 

и для того, чтобы найти жесткость $F=k(L-L0)$ 

тогда $k= \frac{F}{L-L0)}$

$k\Delta L\frac{R}{Lm} =m\omega ^{2} R$

составляем систему

$k\Delta L\frac{1}{Lm} =m\omega ^{2}$

$k\Delta Lcos\alpha =mg$

решаем

$Lm= \frac{g}{\omega ^{2}cos \alpha }$

$\Delta L= \frac{mg}{kcos \alpha }$

$L0=Lm-\Delta L$

$L0=\frac{g}{\omega^{2}cos\alpha }-\frac{mg}{kcos\alpha }$

теперь делаем подстановку $k= \frac{F}{L-L0}$

$L0=\frac{g}{\omega^{2}cos\alpha }-\frac{mg}{kcos\alpha }=\frac{g}{\omega^{2}cos\alpha }-\frac{mg(L-L0)}{Fcos\alpha }$

$L0=\frac{g}{\omega^{2}cos\alpha }-\frac{mgL-mgL0}{Fcos\alpha }$

$L0=\frac{g}{\omega^{2}cos\alpha }-\frac{mgL}{Fcos\alpha }+\frac{mg}{Fcos\alpha }L0$

$L0-\frac{mg}{Fcos\alpha }L0=\frac{g}{\omega^{2}cos\alpha }-\frac{mgL}{Fcos\alpha }$

$L0(1-\frac{mg}{Fcos\alpha })=\frac{g}{\omega^{2}cos\alpha }-\frac{mgL}{Fcos\alpha }$

$L0\frac{Fcos\alpha -mg}{Fcos\alpha } =$
$=\frac{g}{\omega ^{2}cos\alpha } (\frac{F -mL\omega ^{2}}{F })$

$L0=\frac{g}{\omega^{2}}\frac{(F -mL\omega^{2})}{(Fcos\alpha-mg)}$ Ответ

где $\omega =2 \pi n$
ну, и наверное, с точки зрения математики , можно поменять знаки в числителе и знаменателе

$L0=\frac{g}{\omega^{2}}\frac{ (mL\omega^{2}-F)}{(mg-Fcos\alpha)}$

Игорь, спасибо за бдительность))

Answer 2

Для нахождения длины нерастянутого шнура Lo, необходимо использовать закон Гука, который описывает связь между силой растяжения шнура F, его длиной L и коэффициентом упругости k:

F = k * (L - Lo)

Также известно, что гирька вращается в горизонтальной плоскости с частотой n. Частота вращения связана с длиной шнура и его углом отклонения от вертикали следующим образом:

n = 1 / (2π) * sqrt(k / m) * (L / sqrt(L^2 - Lo^2)) * sin(α)

где m - масса гирьки, α - угол между шнуром и вертикалью.

Из этих двух уравнений можно выразить Lo:

F = k * (L - Lo) L - Lo = F / k Lo = L - F / k

Таким образом, чтобы найти длину нерастянутого шнура Lo, необходимо от длины L отнять отношение силы растяжения F к коэффициенту упругости k.