Question

Мальчик массой 40 кг, стоя на коньках на льду, бросает вперёд груз со скоростью 2 м/с. Найдите массу этого груза, если в момент броска мальчик откатился со скоростью 0,8 м/с. Какую скорость приобрёл бы мальчик, если бы он бросил груз, стоя без коньков на земле? Почему?

Answer 1

В соответствии с законом сохранения импульса
m₁v₁ = m₂v₂ => m₂ = m₁(v₁/v₂) = 40*0.8/2 = 16 кг
без коньков на земле мальчик  - с тз закона сохранения импульса - соединён через силу сцепления (трения) с массой всей планеты.
Таким образом и импульс от броска пудового груза по закону сохранения импульса уравнивается импульсом, который обретает вся планета. Поскольку масса улетающего груза ничтожно мала по сравнению с массой планеты, то и скорость "отдачи", которую обретает планета, ничтожно мала.
Впрочем, груз очень скоро шлёпнется на всё ту же планету и, опять же по закону сохранения импульса, погасит даже эту ничтожную отдачу.

Короче говоря, закон сохранения импульса устоит, да и мир устоит тоже: пудовой гири слишком мало для того, чтобы всерьёз повлиять на систему с массой порядка 10²⁴  кило.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения импульса.

1. Импульс до броска равен импульсу после броска:

\[ m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i} = m_1 \cdot v_{1f} + m_2 \cdot v_{2f} \]

Где: - \( m_1 \) - масса мальчика, - \( v_{1i} \) - начальная скорость мальчика, - \( m_2 \) - масса груза, - \( v_{2i} \) - начальная скорость груза (0, так как груз начинает движение от покоя), - \( v_{1f} \) - конечная скорость мальчика (после отката), - \( v_{2f} \) - конечная скорость груза.

2. Зная, что начальная скорость груза \( v_{2i} = 0 \) и конечная скорость мальчика \( v_{1f} = 0 \) (так как мальчик останавливается), уравнение упрощается:

\[ m_1 \cdot v_{1i} = m_2 \cdot v_{2f} \]

3. Также мы можем использовать закон сохранения энергии:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_{1i}^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_{2f}^2 \]

Здесь мы учитываем кинетическую энергию до и после броска.

4. Известно, что \( v_{1i} = 0,8 \ м/с \). Подставим это значение:

\[ 0,8 \cdot m_1 = m_2 \cdot v_{2f} \]

5. Теперь у нас есть два уравнения:

\[ m_1 \cdot v_{1i} = m_2 \cdot v_{2f} \]

\[ 0,8 \cdot m_1 = m_2 \cdot v_{2f} \]

6. Решим систему уравнений.

Подставим значение \( v_{1i} = 0,8 \ м/с \):

\[ 0,8 \cdot m_1 = m_2 \cdot v_{2f} \]

Также у нас есть уравнение:

\[ m_1 \cdot 0,8 = m_2 \cdot v_{2f} \]

Разделим второе уравнение на 0,8:

\[ m_1 = \frac{m_2 \cdot v_{2f}}{0,8} \]

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

\[ 0,8 \cdot \frac{m_2 \cdot v_{2f}}{0,8} = m_2 \cdot v_{2f} \]

Упростим:

\[ m_2 \cdot v_{2f} = m_2 \cdot v_{2f} \]

Таким образом, масса груза \( m_2 \) не зависит от массы мальчика \( m_1 \).

7. Теперь рассмотрим вторую часть вопроса:

Если мальчик стоит на земле без коньков, то отсутствует трение с льдом. В этом случае, мальчик сохранит всю свою кинетическую энергию после броска груза. Следовательно, его конечная скорость будет равна начальной скорости груза:

\[ v_{1f} = v_{2i} = 2 \ м/с \]

8. Итак, в ответе:

- Масса груза \( m_2 \) не зависит от массы мальчика \( m_1 \). - Когда мальчик стоит на земле без коньков, его скорость после броска груза будет равна начальной скорости груза и составит \( 2 \ м/с \).