Question

В идеальном колебательном контуре с частотой собственных колебаний V1=20кГц при замене конденсатора на другой частота стала равна V2=30кГц. какой будет частота собственных колебаний контура, если соединить эти два конденсатора параллельно? (16,6кГц)

Answer 1

по ф-ле Tомпсона

частота  v=1/(2pi√(LC))

√C=1/(v2pi√L)

C=1/((v2pi)^2*L)

тогда

C1=1/((v1*2pi)^2*L)

C2=1/((v2*2pi)^2*L)

емкость сдвоенного конденсатора

С=С1+С2=1/((2pi)^2*L)*(1/v1^2+1/v2^2) (1)

частота с двойным конденсатором

v=1/(2pi√(LC))

v^2=1/((2pi)^2*LC))

подставим С из (1)

v^2=1/((2pi)^2*L)) * ((2pi)^2*L)*(1/v1^2+1/v2^2)

v^2= 1/v1^2+1/v2^2

из ф-лы видно , что квадрат частота равна сумме квадратов обратных  величин частот при паралл.соедин.

подставим числа

v^2=1/20^2+1/30^2=(9+4)/3600=13/60^2

v=√13/60=0,06 кГц = 60 Гц

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем воспользоваться формулой для частоты собственных колебаний \(f\) в колебательном контуре с использованием индуктивности \(L\) и ёмкости \(C\):

\[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Где: - \(f\) - частота собственных колебаний, - \(\pi\) - математическая константа π (пи), - \(L\) - индуктивность, - \(C\) - ёмкость.

Для идеального колебательного контура с частотой собственных колебаний \(V_1 = 20 \, \text{кГц}\) мы можем записать уравнение:

\[ V_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_1}} \]

Где \(L_1\) и \(C_1\) - индуктивность и ёмкость первого конденсатора.

Аналогично, для второго конденсатора и его частоты \(V_2 = 30 \, \text{кГц}\):

\[ V_2 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C_2}} \]

Теперь, если мы заменяем конденсатор первого контура на другой, но при этом поддерживаем ту же частоту собственных колебаний \(V_1\), мы можем записать:

\[ V_1 = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2C'}} \]

Где \(C'\) - ёмкость второго конденсатора.

Теперь у нас есть три уравнения, и мы можем решить их для определения значений \(L_1\), \(C_1\), \(L_2\), \(C_2\) и \(C'\).

Теперь, если мы соединяем два конденсатора параллельно, их эквивалентная ёмкость \(C_{\text{пар}}\) будет равна сумме инверсий их ёмкостей:

\[ \frac{1}{C_{\text{пар}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C'} \]

Теперь мы можем использовать полученные значения \(L_1\), \(C_1\), \(L_2\), \(C_2\) и \(C_{\text{пар}}\) для вычисления новой частоты собственных колебаний \(f_{\text{нов}}\) после параллельного соединения двух конденсаторов:

\[ f_{\text{нов}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_{\text{пар}}}} \]

Подставим значения и решим уравнение:

\[ f_{\text{нов}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1\left(\frac{1}{\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C'}}\right)}} \]

Вычислив \(f_{\text{нов}}\), мы получим ответ. Проверим, равен ли он 16,6 кГц, как указано в вашем вопросе.