Question

Тело, подвешенное к пружине, колеблется с частотой 2 Гц. С какой частотой будет колебаться тело, если его подвесить к системе из четырех таких же пружин, соединенных последовательно? Ответ:1 (как доказать с помощью формул?)

Answer 1

При том же усилии одновременно растянутся все 4 пружины значит при той-же силе удлинение системы в 4 раза выше чем у одной пружины значит жесткость системы меньше в 4 раза значит частота меньше в 2 раза ответ 1Гц

Answer 2

При подвешивании тела к системе из четырех пружин, соединенных последовательно, изменится жесткость системы. Чтобы найти новую частоту колебаний, нужно учесть этот факт.

Предположим, что изначально тело подвешено к одной пружине, колеблющейся с частотой \(f_0 = 2\) Гц. При подключении четырех таких пружин в последовательность общая жесткость системы изменится. Если обозначить \(k\) как жесткость одной пружины, то общая жесткость системы из четырех пружин будет \(4k\) (так как они соединены последовательно).

Частота колебаний пропорциональна обратному квадратному корню из жесткости пружины для массы, подвешенной к ней. Формула для частоты колебаний выглядит так:

\[f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\]

где \(k\) - жесткость пружины, \(m\) - масса подвешенного тела.

Теперь, если мы имеем систему из четырех пружин, общая жесткость которой \(4k\), но та же самая масса \(m\), новая частота колебаний (\(f_{\text{новая}}\)) будет:

\[f_{\text{новая}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4k}{m}}\]

Так как \(4k\) - это новая общая жесткость системы, мы можем записать это как:

\[f_{\text{новая}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{4 \cdot \frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \cdot 2 \sqrt{\frac{k}{m}}\]

Таким образом, новая частота колебаний (\(f_{\text{новая}}\)) будет вдвое больше изначальной частоты колебаний (\(f_0\)), то есть \(f_{\text{новая}} = 2 \cdot f_0\).