Question

Платформа в виде диска радиусом 1 м вращается по инерции с частотой 6 об/мин. На краю платформы стоит человек, масса которого 80 кг. Какую работу совершит человек, перейдя с края в центр платформы? Масса платформы 240 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

Answer 1

Дано:
R=1 м
n₁=6 об/мин=6/60=0.1 Гц
m=80 кг
M=240 кг
Найти: А
Решение:
Пусть
J₁ - момент инерции платформы. Не меняется в рассматриваемой задаче.
J₂ - момент инерции человека, строящего на краю
Когда человек перейдет в центр, его момент инерции станет равным 0.
Вращающееся тело обладает импульсом Jω
По закону сохранения импульса
(J₁+J₂)ω₁=J₁ω₂
Момент инерции платформы (сплошной диск)
J₁=1/2MR²
Момент инерции человека (материальной точки)
J₂=mR²
Циклическая частота ω=2πn
ω₁=2π*0,1=0,2π
$( 0,5MR^2 + mR^2)\omega_1=0.5MR^2\omega _2 \\ \omega _2= \frac{(0,5MR^2+mR^2)\omega_1}{0.5MR^2} =(1+ \frac{2m}{M} )\omega_1 \\ \\ \omega _2=(1+ \frac{2*80}{240} )0,2 \pi = \frac{ \pi}{3}$

Кинетическая энергия вращающегося тела Jω²/2
E₁=(0.5MR²+mR²)ω₁²/2=(0.5M+m)(Rω₁)²/2=(0.5*240+80)(1*0.2π)²/2=4π²
E₂=0.5MR²ω₂²/2=0.25M(Rω₂)²=0.25*240(1*π/3)²=20π²/3
Работа, совершенная человеком, будет равна разности кинетических энергий
А=E₂-E₁=20π²/3-4π²=8π²/3 Дж (≈26.3 Дж)
Ответ: 8π²/3 Дж (≈26.3 Дж)