Question

Два свинцовых тела массами 200 и 300 г, движущиеся со скоростями 40 и 30 м/с соответственно, испытывают абсолютно неупругое соударение. На сколько градусов повысится температура этих тел, если их начальные скорости взаимно перпендикулярны? Начальные температуры тел одинаковы.

Answer 1

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме:

p1 = p2, 

где p1 - суммарный импульс тел до соударения, p2 - суммарный импульс тел после соударения

импульс p1 складывается из векторов m1v1 и m2v2. чтобы сложить эти вектора, необходимо воспользоваться теоремой Пифагора:

p1 = √[(m1v1)² + (m2v2)²]

с суммарным импульсом тел после столкновения все проще:

p2 = (m1 + m2) u, где u - скорость тел после соударения

из закона сохранения импульса получаем, что

u = √[(m1v1)² + (m2v2)²]/(m1 + m2)

запишем закон сохранения энергии:

(m1 v1²)/2 + (m2 v2)²/2 = ((m1 + m2) u²)/2 + Q, 

где Q - количество теплоты, выделившееся при соударении. оно складывается из количеств теплот, идущих на нагревание первого и второго тела. так как их начальные температуры равны,  то Q = c (m1 + m2) Δt

m1 v1² + m2 v2² = ((m1v1)² + (m2v2)²)/(m1 + m2) + 2 c (m1 + m2) Δt

после преобразований получаем

Δt = (m1 m2 (v1² + v2²))/(2 c (m1 + m2)²)

размерность можно легко проверить, если понимать, что в каком-нибудь частном случае 2 c Δt = v²

примем за удельную теплоемкость свинца c = 140 Дж/(кг К)

Δt = (0.2*0.3*(40^(2)+30^(2)))/(280*0.5^(2)) ≈ 2.14 K