Question

Двиение точки задано уравнениями: x = 3sin2t, y=3cos2t ускорение точки равно: 1) 18 2) 6 3) 24 4) 12

Answer 1

Положим что движение точки задается уравнением вида
 $y=y(x)$
Тогда ускорение будет равно:
$a=y''(x)$
Ищем производную заданную параметрически:
$\cfrac{dy}{dx}=\cfrac{dy}{dt}:\cfrac{dx}{dt}=-\cfrac{6 \sin 2t}{6\cos 2t}=-tg2t$
А ускорение будет равно:
$a=(-tg2t)'=-\cfrac{2}{\cos^22t}$
Так как не задано время, то получена формула для ускорения в общем виде

Answer 2

Чтобы найти ускорение точки, заданной параметрическими уравнениями \(x = 3\sin(2t)\) и \(y = 3\cos(2t)\), нужно выполнить два шага: первый - найти первую и вторую производные по времени от уравнений \(x(t)\) и \(y(t)\), а затем второй - подставить полученные производные в формулу ускорения.

Давайте начнем с нахождения производных по времени:

1. Нахождение производной \(x(t)\):

\[x(t) = 3\sin(2t)\]

Используем правило цепочки:

\[ \frac{dx}{dt} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(2t) = 6\cos(2t) \]

2. Нахождение производной \(y(t)\):

\[y(t) = 3\cos(2t)\]

Используем правило цепочки:

\[ \frac{dy}{dt} = -3 \cdot 2 \cdot \sin(2t) = -6\sin(2t) \]

Теперь найдем вторые производные:

3. Нахождение второй производной \(\frac{d^2x}{dt^2}\):

\[\frac{d^2x}{dt^2} = -12\sin(2t)\]

4. Нахождение второй производной \(\frac{d^2y}{dt^2}\):

\[\frac{d^2y}{dt^2} = -12\cos(2t)\]

Теперь, когда у нас есть производные, мы можем использовать формулу для ускорения точки в параметрической форме:

\[ a(t) = \sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2} \]

Подставляем значения производных:

\[ a(t) = \sqrt{(-12\sin(2t))^2 + (-12\cos(2t))^2} \]

Упростим выражение:

\[ a(t) = 12\sqrt{\sin^2(2t) + \cos^2(2t)} \]

Так как \(\sin^2(2t) + \cos^2(2t) = 1\), ускорение равно:

\[ a(t) = 12 \]

Таким образом, ускорение точки заданной уравнениями \(x = 3\sin(2t)\) и \(y = 3\cos(2t)\) равно константе 12.