Question

Две тонкие концентрические сферы имеют заряды 40 нKл и 50 нКл, равнораспределенные по поверхности. Найдите силу, действующую на точечный заряд 10 нКл, находящийся вне этих сфер на расстоянии 9 см от их центра.

Answer 1

1. Уточним условие задачи:
Заряд первой сферы Q1 = +40 нКл
Заряд второй сферы Q2 = +50 нКл

2. План решения:
1) Выясним структуру поля, создаваемого сферами.
2) Найдём напряжённость электрического поля, которое создают сферы в точке размещения заряда.
3) Вычислим силу, действующую на пробный заряд q = +10 нКл по формуле F = qE

3. Ход решения
1) Структура поля. Симметрия задачи.
В электростатике существует, так называемая, теорема о единственности решения. Эта теорема утверждает, что если однозначно задана объёмная плотность зарядов (в том числе точечные, линейные и поверхностные заряды), а так же потенциалы на проводниках, то задача о нахождении электростатического поля и потенциала имеет единственно решение.
В нашем случае заряды равномерно "размазаны" по поверхности сфер, т.е. можно считать что задана равномерная поверхностная плотность заряда. Если мы зафиксируем центр сфер, а потом начнём как угодно вращать их, то распределение зарядов не изменится, а значит при произвольном повороте системы не изменится и картина силовых линий электростатического поля (и само поле тоже). Говорят, что при повороте системы задача переходит сама в себя. 

Если мы найдём конфигурацию силовых линий, удовлетворяющую этому условию, то найдём и единственное решение задачи.
Простая логика подсказывает, то силовые линии электростатического поля направлены вдоль радиуса сфер (центрально-симметричное поле). Величина электрического поля зависит только от расстояния до центра сфер. Во всех других случаях задача и её решение при повороте само в себя не перейдёт.

E  = E(r) * r₀, здесь r₀ - единичный радиус вектор, направленный от центра сфер к точечному заряду.

2) Величина электростатического поля E(r).
Воспользуемся теоремой Гаусса: 
$\int \int{E} \, dS = \frac{Q}{\epsilon_0}$.
Поток вектора напряжённости электростатического поля через любую замкнутую поверхность пропорционален величине свободного заряда, содержащегося внутри этой поверхности.
В нашем случае удобно взять сферическую поверхность радиусом r (большим чем радиус заряженных сфер). Учтём, что на этой поверхности E(r) = const. Тогда 
$\int\int{E}\,dS=E(r)\int \int{}\,dS=E(r)\Omega=4\pi r^2E=\frac{Q}{\epsilon_0}$
Здесь Ω - площадь выбранной нами cферы.
Тогда имеем:
$E(r) = \frac{Q_1+Q_2}{4\pi\epsilon_0 r^2}=k(Q_1+Q2)\frac{1}{r^2}$

3) Сила действующая на заряд.
F = qE
Тогда F = qE(r) r₀
$F=k(Q_1+Q2)\frac{q}{r^2}$
$F=9*10^9*(40+50)*10^{-9}*(10*10^{-9})/(0.09*0.09)=10^{-3}$
Ответ приведён в ньютонах.

Answer 2

Для нахождения силы, действующей на точечный заряд, находящийся вне двух тонких концентрических сфер, можно воспользоваться законом Кулона.

Согласно закону Кулона, сила взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется следующим образом:

\[ F = \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_2|}{r^2}, \]

где: - \( F \) - сила взаимодействия, - \( k \) - постоянная Кулона (\(8.99 \times 10^9 \ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2\) в вакууме), - \( q_1 \) и \( q_2 \) - величины зарядов, - \( r \) - расстояние между зарядами.

В данном случае имеем три заряда: два заряда \(40 \ \text{нКл}\) и \(50 \ \text{нКл}\) на концентрических сферах и один точечный заряд \(10 \ \text{нКл}\) вне этих сфер.

Сначала найдем силу, действующую на точечный заряд со стороны каждой из сфер:

1. Сила, действующая от сферы с зарядом \(40 \ \text{нКл}\):

\[ F_1 = \frac{k \cdot |q_1 \cdot q_3|}{r_1^2}, \]

где \( q_1 = 40 \ \text{нКл} \) (заряд сферы), \( q_3 = 10 \ \text{нКл} \) (точечный заряд), \( r_1 \) - расстояние от центра сферы до точечного заряда.

2. Сила, действующая от сферы с зарядом \(50 \ \text{нКл}\):

\[ F_2 = \frac{k \cdot |q_2 \cdot q_3|}{r_2^2}, \]

где \( q_2 = 50 \ \text{нКл} \) (заряд сферы), \( r_2 \) - расстояние от центра второй сферы до точечного заряда.

Так как силы направлены вдоль радиусов сфер, они будут слагаемыми векторами, и для нахождения силы, действующей на точечный заряд, нужно сложить эти силы векторно:

\[ F_{\text{total}} = F_1 + F_2. \]

Расстояния \( r_1 \) и \( r_2 \) можно найти, используя теорему Пифагора, так как сферы концентрические:

\[ r_1 = \sqrt{R_1^2 + d^2}, \] \[ r_2 = \sqrt{R_2^2 + d^2}, \]

где \( R_1 \) и \( R_2 \) - радиусы сфер, \( d \) - расстояние от центра сфер до точечного заряда.

Теперь вы можете подставить значения и решить задачу.