Question

движение тела описывается уравнением x = -0,25t^4 + 3t^2 + 72 . Найти максимальную скорость тела.

Answer 1

x = -0,25t^4 + 3t^2 + 72
v(t)= -1*t^3+6*t
Vmax при t=1 ; Vmax=5 (м/с)

Answer 2

Для нахождения максимальной скорости тела, необходимо вычислить производную функции \( x(t) \) по времени \( t \) и найти момент времени, в который производная равна нулю. Это будет момент времени, когда тело достигает максимальной скорости.

Дано уравнение для положения тела в зависимости от времени:

\[ x(t) = -0.25t^4 + 3t^2 + 72 \]

Теперь найдем производную этой функции по времени:

\[ v(t) = \frac{dx}{dt} \]

\[ v(t) = -t^3 + 6t \]

Теперь найдем момент времени, когда производная равна нулю:

\[ -t^3 + 6t = 0 \]

\[ t(t^2 - 6) = 0 \]

Отсюда следует, что \( t = 0 \) или \( t = \sqrt{6} \) (положительный корень).

Теперь, чтобы определить, является ли это локальным максимумом или минимумом, найдем вторую производную по времени:

\[ a(t) = \frac{dv}{dt} = -3t^2 + 6 \]

Подставим \( t = \sqrt{6} \):

\[ a(\sqrt{6}) = -3(\sqrt{6})^2 + 6 = -18 < 0 \]

Таким образом, вторая производная отрицательна при \( t = \sqrt{6} \), что означает, что у нас есть локальный максимум.

Таким образом, тело достигает максимальной скорости при \( t = \sqrt{6} \). Теперь подставим это значение времени обратно в уравнение для скорости, чтобы найти максимальную скорость:

\[ v(\sqrt{6}) = -(\sqrt{6})^3 + 6 \sqrt{6} \]

\[ v(\sqrt{6}) = -6\sqrt{6} + 6\sqrt{6} = 0 \]

Максимальная скорость тела равна нулю.