Question

Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение \( p + q = (p - q)^3 \) и поищем простые числа \( p \) и \( q \), которые удовлетворяют этому уравнению.

Первым шагом давайте упростим уравнение, раскрыв его справа:

\[ p + q = (p - q)^3 \]

Раскроем куб:

\[ p + q = (p - q)(p - q)(p - q) \]

Теперь умножим:

\[ p + q = (p - q)^2 \cdot (p - q) \]

Раскроем квадрат:

\[ p + q = (p - q)(p - q) \cdot (p - q) \]

Умножим снова:

\[ p + q = (p - q) \cdot (p - q) \cdot (p - q) \]

Теперь у нас есть:

\[ p + q = (p - q)^3 \]

Исследуем, когда это уравнение может быть верным для простых чисел \( p \) и \( q \).

1. Если \( p - q = 1 \), то уравнение становится \( p + q = 1^3 \), что равно 1. Такие простые числа существуют, например, \( p = 2 \) и \( q = 1 \).

2. Если \( p - q = -1 \), то уравнение становится \( p + q = (-1)^3 \), что равно -1. Простые числа \( p \) и \( q \), для которых это выполняется, отсутствуют, так как простые числа не могут быть отрицательными.

Таким образом, единственным решением этого уравнения для простых чисел \( p \) и \( q \) является \( p = 2 \) и \( q = 1 \).