Question

Знайти відношення кінетичної енергії Wk точки, що гармонічно коливається, до її потенціальної енергії Wп для моментів часу, коли зміщення точки від положення рівноваги складає: а) x=A/4; б) x=A/2; в) x=A, де А – амплітуда коливань.

Answer 1

Ответ:

Для точки, що гармонічно коливається, потенціальна енергія обчислюється за формулою: Wп = (kx²)/2, де k - коефіцієнт пружності, а x - відстань від точки до положення рівноваги. Кінетична енергія Wk обчислюється за формулою: Wk = (mv²)/2, де m - маса точки, а v - її швидкість.

a) При x = A/4: Wп = (k(A/4)²)/2 = (kA²)/32; Wk = (mv²)/2. Швидкість точки в даному випадку максимальна, оскільки точка проходить положення рівноваги, а отже, кінетична енергія за цим положенням досягає своєї максимальної величини. Таким чином, відношення Wk/Wп = (mv²)/(kA²)/32.

б) При x = A/2: Wп = (k(A/2)²)/2 = (kA²)/8; Wk = (mv²)/2. В даному випадку, точка перебуває у положенні, в якому її швидкість дорівнює нулю, а отже, кінетична енергія дорівнює нулю. Тоді відношення Wk/Wп = 0.

в) При x = A: Wп = (kA²)/2; Wk = (mv²)/2. У цьому положенні, точка має мінімальну кінетичну енергію, оскільки її швидкість дорівнює нулю, і вона починає рухатися у зворотньому напрямку. Тоді відношення Wk/Wп = 0.

Отже, відношення кінетичної енергії до потенціальної енергії точки, що гармонічно коливається, залежить від положення точки. У тих положеннях, коли точка проходить положення рівноваги, відношення Wk/Wп максимальне, а коли точка досягає максимального відхилення, відношення Wk/Wп дорівнює нулю.

Объяснение:

Answer 2

Для гармонічних коливань точки маси m, яка знаходиться на пружині з константою жорсткості k, кінетична енергія (W_k) та потенціальна енергія (W_p) взаємодіють згідно із рівнянням:

\[W_k + W_p = E_{\text{заг}}.\]

Де \(E_{\text{заг}}\) - повна енергія системи, що залишається постійною протягом гармонічних коливань.

Відомо, що кінетична енергія \(W_k\) визначається за формулою:

\[W_k = \frac{1}{2} m v^2.\]

Потенціальна енергія \(W_p\) для гармонічних коливань на пружині залежить від відстані (x) від положення рівноваги та константи жорсткості (k):

\[W_p = \frac{1}{2} k x^2.\]

Для знаходження відношення кінетичної енергії до потенціальної енергії для різних положень x, підставимо вирази для \(W_k\) та \(W_p\) у рівняння енергії:

\[\frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2 = E_{\text{заг}}.\]

Але ми знаємо, що \(v = \omega \sqrt{A^2 - x^2},\) де \(\omega\) - кутова частота коливань, \(A\) - амплітуда коливань.

Тепер розглянемо тривалий момент часу, коли зміщення точки від положення рівноваги складає:

а) \(x = \frac{A}{4}\).

Підставимо це значення в рівняння енергії та виразимо \(v\):

\[\frac{1}{2} m \left(\omega \sqrt{A^2 - \left(\frac{A}{4}\right)^2}\right)^2 + \frac{1}{2} k \left(\frac{A}{4}\right)^2 = E_{\text{заг}}.\]

Розв'яжемо для \(v\).

б) \(x = \frac{A}{2}\).

Повторимо той самий процес для \(x = \frac{A}{2}\).

в) \(x = A\).

Повторимо той самий процес для \(x = A\).

Порівняємо відношення \(W_k\) до \(W_p\) для кожного з цих трьох випадків, використовуючи вирази для \(W_k\) та \(W_p\), які ми отримали, і виразимо відношення у кожному з випадків.

Це дасть вам відношення кінетичної енергії до потенціальної енергії для точки, що гармонічно коливається, в зазначених моментах часу.