Question

На двох концентричних сферах, радіуси яких 3см та 5 см, знаходяться заряди q1 = +8 пКл та q2 = – 7 пКл відповідно. Знайти потенціал електричного поля в точці, що знаходиться на відстані 10 см від центру сфер.

Answer 1

Для знаходження потенціалу в точці потрібно знайти електричне поле в цій точці, а потім інтегрувати його з точки, де потенціал рівний нулю.

Для обчислення електричного поля застосуємо формулу Кулона:
E1 = k*q1/r1^2, де k - стала Кулона (9*10^9 Н*м^2/Кл^2), q1 - заряд першої сфери, r1 - відстань від точки до центра першої сфери.
Аналогічно для другої сфери:
E2 = k*q2/r2^2, де q2 - заряд другої сфери, r2 - відстань від точки до центру другої сфери.

Оскільки точка знаходиться за межами двох сфер, її відстань до першої сфери більша, ніж до другої. Отже, електричне поле в цій точці буде складатися з двох складових:
E = E1 + E2

Знайдемо значення електричних полів:
E1 = 9*10^9 * 8*10^-12 / (0.03)^2 = 80267.6 В/м
E2 = 9*10^9 * (-7)*10^-12 / (0.05)^2 = -70588 В/м (зворотний напрямок, оскільки заряд від'ємний)

Отже, загальне значення електричного поля в точці буде:
E = 80267.6 - 70588 = 9679.6 В/м (напрямлене від першої сфери до другої)

Тепер інтегруємо електричне поле від точки, де потенціал рівний нулю (наприклад, від середини другої сфери):
V = ∫ E * dl, де dl - елемент довжини

При інтегруванні слід враховувати напрямленість елементів довжини та їх кількість. Наприклад, якщо обрати напрямок від центра другої сфери до точки і почати інтегрування на відстані r2 = 5 см, то буде:
V = ∫ (E2 * dl) + ∫ (E1 * dl)
Другий інтеграл складатиме з великої кількості дуже малих відрізків, оскільки з ростом відстані від точки до сфери електричне поле швидко зменшується. Його можна наблизити до нуля.

Таким чином,
V = ∫ (E2 * dl) + ∫ (E1 * dl) ≈ E2 * dl = (-70588 В/м) * (0.05 м) = -3529 В

Знак мінус означає, що потенціал в точці на 3529 В менший, ніж в центрі другої сфери. Така різниця потенціалів відбувається через наявність зарядів на сферах, які створюють електричне поле.

Answer 2

Для розрахунку потенціалу електричного поля в точці, що знаходиться на відстані 10 см від центру сфер, ми можемо скористатися формулою для потенціалу електростатичного поля кулястого заряду:

V = k * (q1/r1 + q2/r2),

де V - потенціал електричного поля, k - електростатична константа (в вакуумі k = 8.99 * 10^9 Н * м^2 / Кл^2), q1 та q2 - заряди на сферах, r1 та r2 - відстані від точки до зарядів.

У нашому випадку, q1 = 8 пКл = 8 * 10^-12 Кл, q2 = -7 пКл = -7 * 10^-12 Кл, r1 = 3 см = 3 * 10^-2 м і r2 = 5 см = 5 * 10^-2 м.

Підставляємо значення в формулу:

V = (8.99 * 10^9 Н * м^2 / Кл^2) * (8 * 10^-12 Кл / (3 * 10^-2 м) + (-7 * 10^-12 Кл / (5 * 10^-2 м),

V = 8.99 * 10^9 * (8 / 3 - 7 / 5) * 10^-10,

V = 8.99 * (40 / 15 - 21 / 5) * 10^-1,

V = 8.99 * (8/3 - 21/5) * 10^-1,

V ≈ 8.99 * (40/15 - 42/15) * 10^-1,

V ≈ 8.99 * (-2/15) * 10^-1,

V ≈ -0.119933... * 10^-1,

V ≈ -1.19933 * 10^-2.

Отже, потенціал електричного поля в точці, що знаходиться на відстані 10 см від центру сфер, дорівнює приблизно -1.19933 * 10^-2 В (вольт).