Question

При отказе двигателя вертолета и остановке винта, произошедшей на высоте h1 = 600 м, пилот перешел в режим авторотации и винт стал раскручиваться потоком воздуха, набегающим при падении вертолета. Определить высоту h2, на которой возможно возникновение подъемной силы винта, если известно: 1) подъемная сила возникает при скорости вращения винта n = 900 об/мин; 2) винт имеет четыре лопасти, каждую из которых можно считать однородным стержнем длиной l = 4 м и массой mл = 50 кг; 3) масса вертолета (без винта) mв = 1 т; 4) скорость падения вертолета на высоте h2 равна v = 20 м/с.

Answer 1

Вроде как задача решается на школьном уровне энергетическим подходом. А если так, то формулировку "при отказе двигателя вертолёта и остановке винта, произошедшей на высоте h₁...", видимо, нужно трактовать как "двигатель вертолёта отказал и винт сразу же остановился на высоте h₁". Ну то есть в реальности при отказе двигателей вертолёта винт (насколько я понимаю, конечно) вообще не останавливается - он лишь теряет в оборотах. Насколько теряет - это будет зависеть от профессионализма пилота.

Мгновенную остановку винта дают для того, чтобы можно было определить механическую энергию системы "корпус-винт" в точке h₁, коей будет являться потенциальная энергия этой системы (Е₁ = Еp₁), т.к. считаем, что в начальный момент времени наблюдения вертолёт находится в состоянии покоя. Ведь получается, что вертолёт падает строго вертикально - в условиях не дают угла к горизонту, ничего не говорят про горизонтальную скорость... В общем, полагаем, что изначально вертолёт поднимался вертикально, потом двигатели отказали, а винт мгновенно остановился. Вертолёт завис, после чего стал вертикально падать, а пилот перешёл в аварийный режим - авторотацию (режим самовращения несущего винта). Также пренебрегаем диссипацией механической энергии (той её частью, которая при падении вертолёта и раскручивании винта переходит в тепло) - считаем, что работает закон сохранения полной механической энергии.

Дано:

h₁ = 600 м

n = 900 об/мин

L = 4 м

m_л = 50 кг

m_в = 1 т = 1000 кг

υ = 20 м/с

g = 10 м/с²

h₂ - ?

Решение:

Считаем, что винт остановился мгновенно, падение вертолёта - вертикальное. Диссипацией энергии пренебрегаем. Тогда будет действовать закон сохранения полной механической энергии.

На высоте h₁ система тел "корпус-винт" имеет механическую энергию, равную потенциальной энергии этой системы:

Е₁ = Еp₁, где Ep₁ = (m_в + 4m_л)*g*h₁

При падении вертолёта его корпус и винт движутся вертикально, при этом винт ещё и раскручивается постепенно. Теоретически можно полагать следующее: по мере падения вертолёта с высоты h₁ на высоту h₂ его потенциальная энергия тратится на увеличение кинетической энергии поступательного движения системы "корпус-винт" и преодоление сил сопротивления воздуха:

Ep₁ - Ep₂ = ΔEk + A = Ek - Ek₀ + A = Ek - 0 + A = Ek + A, где А - работа сил сопротивления воздуха

Однако работа этих сил идёт на увеличение кинетической энергии вращательного движения винта:

А = ΔEk' = Ek' - Ek'₀ = Ek' - 0 = Ek'

Тогда получается, что потенциальная энергия вертолёта переходит в кинетическую энергию поступательного движения корпуса и винта, а также - в кинетическую энергию вращательного движения винта. В итоге потенциальная энергия вертолёта уменьшается ровно настолько, насколько увеличивается его суммарная кинетическая. Тогда уравнение закона сохранения полной механической энергии будет выглядеть так:

Е₁ = Е₂

Еp₁ = Ep₂ + Ek + Ek'

Ep₂ = (m_в + 4m_л)*g*h₂

Ek = (m_в + 4m_л)*υ²/2

Ek' = ΣIω²/2,

где ΣI - суммарный момент инерции лопастей винта, а ω - угловая скорость, одинаковая для каждой из лопастей. Лопасти согласно условиям задачи эквивалентны однородным стержням. Момент инерции однородного стержня, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр, равен:

I = mL²/12

Однако каждая из лопастей винта крутится вокруг оси, проходящей через её конец. Мы можем применить довольно простую теорему Штейнера, чтобы вычислить момент инерции относительно оси, проходящей через конец стержня: I = I₀ + md², где I₀ - момент инерции относительно оси через центр тела, d - расстояние между центральной осью и осью, относительно которой ищется новый момент инерции. Но можем сделать и по-другому. Считаем, что две лопасти, вращающиеся друг напротив друга - это одна лопасть. Тогда масса такой лопасти равна удвоенной массе m_л, а длина - удвоенной длине L. Ось вращения - центр. Момент инерции будет равен:

I = 2m_л*(2L)²/12 = 2m_л*4L²/12 = 2m_л*L²/3

Т.к. таких лопастей у нас две, то суммарный момент инерции равен:

ΣI = 2*I = 2*2m_л*L²/3 = 4m_л*L²/3

Из кинематики вращательного движения угловая скорость равна:

ω = 2π/Т

T = 1/ν, где ν измеряется в Гц или в с⁻¹, т.е. ν = n/60, т.к. в одной минуте содержится 60 секунд =>

=> T = 1/(n/60) = 60/n =>

=> ω = 2π/(60/n) = 2πn/60 =>

=> Ek' = ΣIω²/2 = (4m_л*L²/3)*(2πn/60)²*(1/2) = 4m_л*L²*4π²n²/(3*3600*2) = 16m_л*L²*π²n²/(6*3600) = m_л*L²*π²n²/(3*450) = m_л*L²*π²n²/1350

Подставляем в уравнение закона сохранения все найденные конечные выражения:

(m_в + 4m_л)*g*h₁ = (m_в + 4m_л)*g*h₂ + (m_в + 4m_л)*υ²/2 + m_л*L²*π²n²/1350

Выражаем h₂:

(m_в + 4m_л)*g*h₂ = (m_в + 4m_л)*g*h₁ - (m_в + 4m_л)*υ²/2 - m_л*L²*π²n²/1350

(m_в + 4m_л)*g*h₂ = (m_в + 4m_л)*(gh₁ - υ²/2) - m_л*L²*π²n²/1350 | : [g*(m_в + 4m_л)]

h₂ = (gh₁ - υ²/2)/g - m_л*L²*π²n²/(1350*g*(m_в + 4m_л))

h₂ = h₁ - υ²/(2g) - [m_л*L²*π²n²/(1350*g*(m_в + 4m_л))] = 600 - 20²/(2*10) - [50*4²*3,14²*900²/(1350*10*(1000 + 4*50))] ≈ 185,61... ≈ 185,6 м

Ответ: примерно 185,6 м.

Answer 2

Для определения высоты h2, на которой возможно возникновение подъемной силы винта при авторотации вертолета, воспользуемся принципами авторотации.

В авторотации винт вертолета начинает вращаться под действием потока воздуха, создаваемого падением вертолета. Подъемная сила винта возникает благодаря угловой скорости его лопастей. Для начала определим, какая угловая скорость (ω) соответствует скорости вращения винта n.

Угловая скорость связана со скоростью вращения и длиной лопасти следующим образом:

\[ ω = 2πn \]

Теперь, используя принцип сохранения энергии, мы можем найти потенциальную энергию, преобразуемую в кинетическую энергию вращающегося винта:

\[ m_л \cdot g \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot I \cdot ω^2 \]

где \( I \) - момент инерции винта. Для простоты расчетов, можно считать, что винт состоит из четырех однородных стержней, вращающихся вокруг своих концов. Момент инерции одного стержня относительно его центра масс можно найти по формуле:

\[ I_л = \frac{1}{3} \cdot m_л \cdot l^2 \]

Таким образом, момент инерции всего винта будет:

\[ I = 4 \cdot I_л \]

Теперь мы можем решить уравнение для \( h_1 \) и найти \( ω \):

\[ h_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{I \cdot ω^2}{m_л \cdot g} \]

\[ ω = \sqrt{\frac{2 \cdot g \cdot h_1}{I}} \]

Теперь, имея \( ω \), мы можем использовать информацию о скорости падения \( v \) на высоте \( h_2 \) для определения подъемной силы винта:

\[ F_{подъем} = m_л \cdot v \cdot ω \]

Подъемная сила винта равна силе тяжести вертолета без винта:

\[ F_{подъем} = m_в \cdot g \]

Теперь можно приравнять две формулы и решить уравнение для \( h_2 \):

\[ m_л \cdot v \cdot ω = m_в \cdot g \]

\[ v \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot g \cdot h_1}{I}} = \frac{m_в \cdot g}{m_л} \]

\[ h_2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{m_в}{m_л}\right)^2 \cdot l^2 \cdot \left(\frac{v^2}{g}\right) \]

Подставим известные значения:

\[ h_2 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1000 \, кг}{50 \, кг}\right)^2 \cdot (4 \, м)^2 \cdot \left(\frac{(20 \, м/с)^2}{9.8 \, м/с^2}\right) \]

Решив это уравнение, можно определить высоту \( h_2 \).