Question

Как составить уравнение движения физического маятника? Каков его решение для малых отклонений от положения равновесия (гармонические колебания)?

Answer 1

Ответ:

1.E=Ek+Ep=mv22+mgh=mv22+mgx22l=const(5), где Ek - кинетическая энергия маятника; Ep - потенциальная энергия маятника; v - скорость движения маятника; x - линейное смещение груза маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса l, при этом угол - смещение связан с x как: φ=xl(6).



2.Графики функций f(x) = sin(x) (красная линия) и g(x) = cos(x) (зелёная линия) в декартовой системе координат. По оси абсцисс отложены значения полной фазы.

Answer 2

Уравнение движения физического маятника можно составить, используя закон сохранения энергии и уравнение момента сил. Физический маятник представляет собой твердое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити. Когда маятник отклоняется от вертикального положения, возникают моменты сил, возвращающие маятник к положению равновесия. Для малых отклонений можно использовать приближение синуса для синуса угла отклонения.

Важными параметрами маятника являются:

1. Длина нити маятника (l) - расстояние от точки подвеса до центра масс маятника. 2. Угол отклонения (θ) - угол между нитью и вертикалью. 3. Гравитационное ускорение (g) - ускорение свободного падения.

Уравнение движения маятника можно записать следующим образом:

\[I \cdot \ddot{\theta} = -m \cdot g \cdot l \cdot \sin(\theta),\]

где: - \(I\) - момент инерции маятника относительно точки подвеса. - \(\ddot{\theta}\) - угловое ускорение (вторая производная по времени угла отклонения \(\theta\)). - \(m\) - масса маятника.

Для малых отклонений (\(\sin(\theta) \approx \theta\)), уравнение можно аппроксимировать следующим образом:

\[I \cdot \ddot{\theta} = -m \cdot g \cdot l \cdot \theta.\]

Это уравнение описывает гармонические колебания маятника вокруг положения равновесия. Решение данного уравнения будет синусоидой:

\[\theta(t) = \theta_0 \cdot \cos(\sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t),\]

где: - \(\theta_0\) - начальное отклонение маятника. - \(t\) - время. - \(\sqrt{\frac{g}{l}}\) - угловая частота колебаний маятника.

Гармонические колебания маятника характеризуются постоянной амплитудой (\(\theta_0\)) и постоянной частотой (\(\sqrt{\frac{g}{l}}\)). Маятник будет колебаться вокруг положения равновесия с периодом \(T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{l}}}\).

Это уравнение описывает поведение физического маятника в предположении малых углов отклонения. В реальности, при больших отклонениях могут возникнуть нелинейные эффекты, которые не могут быть описаны этим уравнением.