Question

Тело массой m соскальзывает с наклонной плоскости на неподвижную платформу. Какую скорость будет иметь платформа, когда груз упадет на нее? Масса платформы M, высота начального положения тела h, угол наклона плоскости к горизонту a(альфа), коэффициент трения между наклонной плоскостью и телом k. Платформа движется без трения.

Answer 1

Ответ:

Скорость платформы

$u = \dfrac{m\cdot \sqrt{2gh(1-k\cdot ctg~\alpha)} }{m+M}$

Объяснение:

На тело, движущееся по наклонной плоскости, действуют

1) сила тяжести Р = mg, направленная вертикально вниз;

2) нормальная реакция плоскости, направленная по нормали к плоскости N = mg·cos α

2) сила трения, направленная вдоль плоскости в направлении, противоположном движению Fтр = N · k = mgk·cos α

По 2-му закону Ньютона (в проекции на направление движения)

ma = mg·sin α - mgk·cos α

Ускорение тела

а = g(sin α - k cos α)

Тело прошло вдоль наклонной плоскости расстояние

$L = \dfrac{h}{sin~a}$

При равноускоренном движении

L = 0.5 at²

(здесь t - время движения тела по наклонной плоскости)

$\dfrac{h}{sin~a} = \dfrac{at^2}{2}$

откуда время движения

$t = \sqrt{\dfrac{2h}{a\cdot sin~\alpha }$

Скорость тела в момент соскальзывания с наклонной плоскости на платформу

v = at

или

$v = \sqrt{\dfrac{2ah}{sin~\alpha }$

Подставим сюда выражение для ускорения и получим

$v = \sqrt{\dfrac{2gh(sin~\alpha-kcos~\alpha)}{sin~\alpha }$

или

$v = \sqrt{2gh (1 - k\cdot ctg~\alpha)}$

По закону сохранения импульса

mv = (m + M)u

Откуда скорость системы "тело-платформа"

$u = \dfrac{mv}{m+M}$

или окончательно

$u = \dfrac{m\cdot \sqrt{2gh(1-k\cdot ctg~\alpha)} }{m+M}$

Answer 2

The answer to your question is as follows:

Let us assume that the initial velocity of the body is zero, and the length of the inclined plane is l. Then, using the conservation of energy, we can write:

$$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + kml\cos a$$

where v is the final velocity of the body at the end of the inclined plane, and k is the coefficient of friction. Solving for v, we get:

$$v = \sqrt{2gh(1 - k\frac{l}{h}\cos a)}$$

Now, when the body collides with the platform, they will stick together and move with a common velocity u, according to the conservation of momentum. We can write:

$$mv + Mu = (m + M)u$$

Solving for u, we get:

$$u = \frac{mv}{m + M}$$

Substituting the expression for v, we get:

$$u = \frac{m\sqrt{2gh(1 - k\frac{l}{h}\cos a)}}{m + M}$$

This is the final velocity of the platform when the body falls on it.