Question

1. Радиус вектор частицы изменяется со временем по закону: ⃗ = 2⃗⃗⃗⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗⃗⃗⃗ Найти скорость v и ускорение w частицы, модуль скорости в момент t=1с. Считать а=1/с2 , b=1/c, c = 1 2. Сила, действующая на частицу, имеет вид F = ex [H] , где -  константа. Вычислить работу A, совершаемую над частицей этой силой на пути от точки с координатами (1, 2, 3) [м], до точки с координатами (7,8,9) [м]/ 3. Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины сферы радиуса вниз. На какой высоте над центром сферы тело отделится от поверхности и полетит свободно? 4. Диск массы m и радиуса R первоначально вращается вокруг своей оси с угловой скоростью . Под воздействием внешних сил диск останавливается. Чему равна работа внешних сил A? 5. Частица перемещается по окружности радиуса R под действием центральной силы F. Центр окружности совпадает с силовым центром. Какую работу A совершает сила F на пути S.

Answer 1

Ответ:

483)4848+3847573885=2848583

Answer 2

1. Начнем с вычисления скорости и ускорения частицы в момент времени t = 1 с.

Радиус вектор частицы изменяется по закону: \(\vec{r}(t) = 2t^2 \hat{i} + 3t \hat{j} + t^3 \hat{k}\).

Первая производная радиус-время дает скорость: \(\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt} = 4t \hat{i} + 3 \hat{j} + 3t^2 \hat{k}\).

В момент времени t = 1 с: \(\vec{v}(1) = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} + 3 \hat{k}\).

Теперь вычислим ускорение, взяв производную скорости по времени: \(\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} = 4 \hat{i} + 0 \hat{j} + 6t \hat{k}\).

В момент времени t = 1 с: \(\vec{a}(1) = 4 \hat{i} + 0 \hat{j} + 6 \hat{k}\).

2. Для вычисления работы A, совершаемой силой F при перемещении частицы от точки с координатами (1, 2, 3) метра до точки с координатами (7, 8, 9) метров, используем формулу для работы:

\(A = \int_{r_1}^{r_2} \vec{F} \cdot d\vec{r}\).

Где \(r_1\) и \(r_2\) - начальное и конечное положение частицы.

В данном случае, сила F имеет вид \(\vec{F} = \alpha \vec{ex}[H]\). Эта сила является константой, и её направление совпадает с осью x.

Пусть начальное положение частицы \(\vec{r_1} = (1, 2, 3)\) м, а конечное положение \(\vec{r_2} = (7, 8, 9)\) м.

Тогда: \(\vec{dr} = dx\hat{i} + dy\hat{j} + dz\hat{k}\),

и \(d\vec{r} = dr\hat{i} + dy\hat{j} + dz\hat{k}\).

Теперь вычислим скалярное произведение \(\vec{F} \cdot d\vec{r}\): \(\vec{F} \cdot d\vec{r} = \alpha \vec{ex}[H] \cdot (dr\hat{i} + dy\hat{j} + dz\hat{k}) = \alpha dr\).

Теперь мы можем интегрировать \(dA\) от \(r_1\) до \(r_2\) по \(dr\): \(A = \int_{r_1}^{r_2} \alpha dr = \alpha \int_{r_1}^{r_2} dr\).

Вычислим интеграл: \(A = \alpha \left[r\right]_{r_1}^{r_2} = \alpha \left[(7-1) m\right] = 6\alpha \, \text{Дж}$.

Таким образом, работа, совершенная силой на пути от (1, 2, 3) м до (7, 8, 9) м, составляет 6α Дж.

3. Для того чтобы определить на какой высоте над центром сферы тело отделится от поверхности и полетит свободно, нужно учесть закон сохранения механической энергии. Начнем с определения начальной энергии тела и его потенциальной энергии при начальной высоте h над центром сферы.

Пусть m - масса тела, g - ускорение свободного падения, R - радиус сферы, и h - начальная высота над центром сферы.

Начальная потенциальная энергия: \(U_i = mgh\).

Начальная кинетическая энергия (первоначально тело покоится): \(K_i = 0\).

Начальная механическая энергия: \(E_i = U_i + K_i = mgh\).

Теперь рассмотрим момент, когда тело отделяется от поверхности сферы и начинает падать свободно. В этот момент его скорость равна нулю (потому что он отделяется от поверхности), и его высота над центром сферы становится R.

Конечная потенциальная энергия: \(U_f = m \cdot g \cdot R\).

Конечная кинетическая энергия (тело находится в свободном падении, скорость равна нулю): \(K_f = 0\).

Конечная механическая энергия: \(E_f = U_f + K_f = m \cdot g \cdot R\).

Используя закон сохранения механической энергии, мы имеем: \(E_i = E_f\).

Таким образом, \(mgh = mgR\).

Масса m и ускорение свободного падения g сокращаются, и мы получаем: \(h = R\).

Таким образом, тело отделится от поверхности