Question

Между неподвижным экраном и свечкой перемещают линзу. При этом на экране получают два чётких изображения высотой H1=9 см и H2=16 см. Какова высота самой свечи?

Answer 1

Пусть расстояние между свечой и экраном равно L, расстояние от экрана до свечи равно a, расстояние от экрана до изображения свечи равно b. Запишем сначала два равенства:

1. L = a + b (толщиной линзы можно пренебречь).

2. 1/a + 1/b = 1/F (формула тонкой линзы, F — её фокус).

Кроме того, H2/d = b1/a2 и H1/d = b2/a1 (d — высота свечи). Это ясно из подобия треугольников на чертеже к задаче (не стану прилагать его здесь).

Из первых двух равенств следует, что a1 = b2, a2 = b1. Тогда H1/d = d/H2 => d = корень(H1 × H2) = 12 см.

Ответ: 12 см.

Answer 2

Для решения задачи можно использовать формулу тонкой линзы, которая связывает фокусное расстояние (f), расстояние от линзы до предмета (p) и расстояние от линзы до изображения (q). Формула имеет вид: 1/f = 1/p + 1/q При перемещении линзы, фокусное расстояние остаётся неизменным. Мы знаем, что при первом изображении высота составляет h1 = 9 см, а при втором изображении высота составляет h2 = 16 см. Используя формулу для определения высоты изображения, которая связывает высоту предмета (h), высоту изображения (h'), и расстояние от линзы до предмета (p), получим: h'/h = -q/p Домножим обе части уравнения на h: h' = -q(h/p) Теперь мы можем записать отношение высот изображений: h2/h1 = -q2/q1 Подставляем значения h1 = 9 см и h2 = 16 см: 16/9 = -q2/q1 Так как q1 и q2 - являются расстояниями от линзы до изображений, то они могут быть как положительными, так и отрицательными. В данной задаче положительным считается расстояние до первого изображения, а отрицательным - до второго. Поэтому: q1 = -q2 Подставляем этот результат в уравнение: 16/9 = -q2/(-q2) Мы можем сократить -q2: 16/9 = 1 16 = 9 Такого уравнения быть не может, поэтому невозможно одновременно получить такие значения высот изображений. Ответ: задача имеет неоднозначное решение или ошибку в условии. В данном случае невозможно определить высоту самой свечи.

Answer 3

Для решения этой задачи используем формулу тонкой линзы, которая связывает расстояние от линзы до изображения и расстояние от линзы до объекта: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} \] Где: \( f \) - фокусное расстояние линзы (в данной задаче нам не известно), \( d_o \) - расстояние от объекта до линзы, \( d_i \) - расстояние от изображения до линзы. Мы знаем, что изображения являются четкими. По определению, изображение будет четким, когда объект и его изображение будут находиться на фокусном расстоянии от линзы. Для первого изображения (\( H_1 = 9 \, \text{см} \)): \[ d_i^{(1)} = f \] \[ d_o^{(1)} = d_i^{(1)} - H_1 = f - 9 \, \text{см} \] Для второго изображения (\( H_2 = 16 \, \text{см} \)): \[ d_i^{(2)} = f \] \[ d_o^{(2)} = d_i^{(2)} - H_2 = f - 16 \, \text{см} \] Теперь мы можем использовать эти данные для выражения \( \frac{1}{f} \) для каждого изображения: Для первого изображения: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{f - 9} + \frac{1}{f} \] Для второго изображения: \[ \frac{1}{f} = \frac{1}{f - 16} + \frac{1}{f} \] Решив эти уравнения, мы можем найти значение \( f \). После того как мы найдем \( f \), мы можем найти расстояние от объекта до линзы для первого изображения (\( d_o^{(1)} = f - 9 \, \text{см} \)). Теперь, чтобы найти высоту свечи (\( H_{\text{candle}} \)), мы можем использовать подобие треугольников: \[ \frac{H_{\text{candle}}}{d_o^{(1)}} = \frac{H_1}{d_i^{(1)}} \] Подставляем известные значения и решаем уравнение относительно \( H_{\text{candle}} \): \[ H_{\text{candle}} = \frac{H_1 \times d_o^{(1)}}{d_i^{(1)}} \] После нахождения \( H_{\text{candle}} \), мы можем найти точное значение высоты свечи.