Question

точка совершает гармоническое колебание. период колебаний T=2 с амплитуда A=50 мм, начальная фаза=0. найти скорость точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия x=37,5 мм.

Answer 1

Уравнение точки
x = ASin(2пft)
A = 0.05 м - амплитуда колебаний
f = 1/T = 0.5 Гц - частота колебаний
Xo = 0.0375 м - смещение, для которого предлагается найти скорость
Поскольку нам известно уравнение движения
x = ASin(2пft)
мы можем найти момент времени
to в который имеет место смещение Xo:
Xo = ASin(2пfto)
откуда
to = (ArcSin(Xo/A))/(2пf)

Уравнение для скорости можно получить дифференцированием уравнения для координаты:
V(t) = x' = (ASin(2пft))' = 2пfACos(2пft) = 2пfA√(1 - Sin^2(2пft))

искомая скорость равна:
V(to) = 2пfA√(1 - Sin^2(2пfto)) = 2пfA√(1 - Sin^2((ArcSin(Xo/A)))) = 2пfA√(1 - (Xo/A)^2)) = 6.28*0.5*0.05*√(1 - (0.0375/0.05)^2) = 0.104 м/c

Answer 2

Для нахождения скорости точки в момент времени, когда её смещение от положения равновесия составляет x = 37,5 мм, можно воспользоваться уравнением гармонических колебаний. Уравнение для гармонических колебаний можно записать следующим образом:

$x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi),$

где:

• $x(t)$ - смещение точки от положения равновесия в момент времени $t$,
• $A$ - амплитуда колебаний,
• $\omega$ - угловая частота колебаний (равна $2\pi / T$, где $T$ - период колебаний),
• $\phi$ - начальная фаза колебаний.

У нас есть следующие данные:

• $A = 50$ мм (0,05 м),
• $T = 2$ секунды,
• начальная фаза $\phi = 0$,
• $x = 37,5$ мм (0,0375 м).

Мы хотим найти скорость точки $v(t)$ в момент времени, когда $x = 37,5$ мм. Для этого давайте сначала найдем угловую частоту $\omega$:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \text{ рад/с}.$

Теперь мы можем использовать уравнение гармонических колебаний, чтобы найти скорость в момент времени $t$:

$x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi).$

Мы знаем, что $x = 0,0375$ м, и хотим найти $v(t)$ в момент времени $t$. Давайте сначала найдем $t$:

$0,0375 = 0,05 \cdot \cos(\pi t).$

Теперь решим это уравнение относительно $t$:

$\cos(\pi t) = \frac{0,0375}{0,05} = 0,75.$

Теперь найдем $t$:

$\pi t = \arccos(0,75).$

$t = \frac{\arccos(0,75)}{\pi}.$

Используя найденное значение $t$, мы можем найти скорость $v(t)$ в момент времени $t$, используя производную от уравнения гармонических колебаний:

$v(t) = -A \cdot \omega \sin(\omega t + \phi).$

Подставим значения:

$v(t) = -0,05 \cdot \pi \cdot \sin\left(\pi \cdot \frac{\arccos(0,75)}{\pi} + 0\right).$

Теперь вычислим $v(t)$:

$v(t) = -0,05 \cdot \pi \cdot \sin\left(\arccos(0,75)\right).$

Используйте калькулятор или программу для численных вычислений, чтобы найти значение синуса и получить скорость точки $v(t)$.