Question

Шарик массой 200 г, подвешенный на нити длиной 90 см, отвели от положения равновесия на 10 см и отпустили, после чего шарик начал совершать колебания. За один период шарик теряет 1 % энергии. Найдите число колебаний, по истечении которых амплитуда колебаний шарика уменьшится в 15 раз. Постройте график убывания энергии колебаний в интервале от нуля до времени релаксации. С решением, пожалуйста...

Answer 1

A/A0=0,99^n
n=ln(A/A0)/ln(0,99)=ln(1/15)/ln(0,99)= 269,4487 
ответ: после  270 колебаний

Answer 2

Для решения этой задачи сначала найдем период колебаний шарика, а затем определим число колебаний до уменьшения амплитуды в 15 раз.

1. Период колебаний шарика (T) можно найти с использованием формулы для периода математического маятника:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

где: - \(L\) - длина нити (в метрах), - \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.81 м/с²).

Длина нити \(L = 0.9\) метра, и \(g = 9.81\) м/с², поэтому:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{0.9}{9.81}} \approx 2.68\) секунд.

2. Теперь мы знаем период колебаний шарика, и мы знаем, что за каждый период он теряет 1% энергии. Это означает, что после каждого периода его энергия уменьшается в 1% от предыдущей энергии. Таким образом, коэффициент затухания (к) равен 0.99 (поскольку 100% - 1% = 99%).

3. Мы хотим найти число колебаний (\(N\)), по истечении которых амплитуда уменьшится в 15 раз. Амплитуда колебаний связана с энергией следующим образом:

\[E \propto A^2\]

где \(E\) - энергия, \(A\) - амплитуда.

Если амплитуда уменьшится в 15 раз, то энергия уменьшится в \(15^2 = 225\) раз. Это означает, что после \(N\) колебаний энергия уменьшится в \(0.99^N = 1/225\) раз.

Теперь мы можем записать уравнение:

\[0.99^N = \frac{1}{225}\]

Для решения этого уравнения найдем логарифмы с обеих сторон:

\[N\ln(0.99) = \ln\left(\frac{1}{225}\right)\]

Теперь найдем \(N\):

\[N = \frac{\ln\left(\frac{1}{225}\right)}{\ln(0.99)} \approx 3063.9\]

Таким образом, после примерно 3064 колебаний амплитуда уменьшится в 15 раз.

4. Чтобы построить график убывания энергии колебаний в интервале от нуля до времени релаксации (после 3064 колебаний), мы можем использовать формулу для энергии колебаний:

\[E = E_0 \cdot k^N\]

где \(E\) - энергия после \(N\) колебаний, \(E_0\) - начальная энергия, \(k\) - коэффициент затухания (0.99), \(N\) - число колебаний.

Мы знаем, что \(E_0 = 100\% = 1\), так как начальная энергия равна 100%. Теперь мы можем построить график, где по оси X будет время (количество колебаний), а по оси Y - энергия.

Мы уже вычислили, что N ≈ 3064, поэтому график будет начинаться от 0 и идти до 3064 колебаний. Далее, мы можем использовать формулу для энергии и коэффициент затухания, чтобы найти энергию после каждого колебания и построить график.