Question

Запишите уравнение гармонических колебаний, если амплитуда ускорения аmax = 50 см/с2 , частота колебаний 0,5 Гц, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени x0 = 25 мм. Найдите амплитуду скорости Vmax.

Answer 1

Ответ:

Vmax ≈ 1 м/с

Объяснение:

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

x = A cos(ωt + φ) + x0,

где x - перемещение точки от положения равновесия в момент времени t,

A - амплитуда колебаний,

ω - угловая частота колебаний,

φ - начальная фаза колебаний,

x0 - смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени.

Чтобы найти A и Vmax, нужно знать, что амплитуда скорости Vmax = Aω.

Из условия задачи, амплитуда ускорения a_max = 50 см/с^2, частота колебаний f = 0.5 Гц = 2π/Т, где T - период колебаний, амплитуда смещения x0 = 25 мм = 2.5 см.

Период колебаний находим из f = 1/T:

T = 2π/f = 2π/0.5 = 4π с.

Угловая частота колебаний находится по формуле:

ω = 2π/T = 2π/(4π) = 0.5 рад/с.

Теперь можем найти амплитуду колебаний A:

a_max = Aω^2 => A = a_max/ω^2 = (50 см/с^2) / (0.5 рад/с)^2 ≈ 200 см = 2 м.

Амплитуда скорости Vmax = Aω = 2 м * 0.5 рад/с ≈ 1 м/с.

Таким образом, уравнение гармонических колебаний имеет вид:

x = 2 cos(0.5t) + 0.025,

амплитуда колебаний A = 2 м, амплитуда скорости Vmax ≈ 1 м/с.

Answer 2

Уравнение гармонических колебаний можно записать следующим образом:

x(t) = x0 * cos(2πft)

где:

• x(t) - смещение от положения равновесия в момент времени t,
• x0 - амплитуда смещения от положения равновесия в начальный момент времени,
• f - частота колебаний.

В данном случае у нас есть следующие данные:

• x0 = 25 мм = 0.25 см,
• f = 0.5 Гц.

Подставляя эти значения в уравнение, получаем:

x(t) = 0.25 * cos(2π * 0.5t)

Теперь, чтобы найти амплитуду скорости (Vmax), нужно продифференцировать это уравнение по времени (так как скорость - это производная по времени от смещения):

V(t) = dx(t)/dt = -0.25 * 2π * 0.5 * sin(2π * 0.5t)

Для нахождения максимальной амплитуды скорости Vmax, мы должны найти максимальное значение функции |V(t)|. Максимальное значение синуса 1, поэтому:

|Vmax| = 0.25 * 2π * 0.5 = π * 0.25 ≈ 0.785 см/с

Таким образом, амплитуда скорости Vmax равна приблизительно 0.785 см/с.