Question

Використовуючи закон додавання швидкостей СТВ: 1) знайти v , якщо v´= c; 2) знайти v´, якщо v=c; 3) знайти v´, якщо v= c, u = c, 4) знайти v, якщо v´= c, u = c

Answer 1

Ответ:

1) Якщо v´= c, то

c = (v + u) / (1 + vu/c^2)

Перенесемо c^2 на ліву сторону:

c^2 + cvu = v^2 + 2vu + u^2

Далі, використовуючи відому рівність c^2 = v^2 + u^2, можемо знайти:

v = (c^2 - u^2) / (2u)

2) Якщо v = c, то

v´ = (c + u) / (1 + cu/c^2) = c + u/c, оскільки cu/c^2 = u/c

Тому v´ = c + u/c

3) Якщо v = c та u = c, то

v´ = (c + c) / (1 + c^2/c^2) = 2c/2 = c

4) Якщо v´= c та u = c, то з формули для v´ маємо:

c = (v + c) / (1 + vc/c^2)

Оскільки vc/c^2 = v/c, то

c^2 = v^2 + 2vc

Тому v = (c^2 - 2vc) / (2c) = c - v/2

Answer 2

Закон додавання швидкостей в спеціальній теорії відносності (СТВ) формулюється наступним чином:

1. Знайдемо v, якщо v' = c:

Закон додавання швидкостей виглядає так: $v = \frac{v' + u}{1 + \frac{v'u}{c^2}}$

У даному випадку, v' = c, отже: $v = \frac{c + u}{1 + \frac{cu}{c^2}}$

Спростимо це вираз: $v = \frac{c + u}{1 + \frac{u}{c}}$

2. Знайдемо v', якщо v = c:

$v = \frac{v' + u}{1 + \frac{v'u}{c^2}}$

У даному випадку, v = c, отже: $c = \frac{v' + u}{1 + \frac{v'u}{c^2}}$

Розкриємо дужки: $c(1 + \frac{v'u}{c^2}) = v' + u$

Поділимо обидві сторони на c: $1 + \frac{v'u}{c^2} = \frac{v'}{c} + \frac{u}{c}$

Віднімемо $\frac{u}{c}$ від обох боків: $1 + \frac{v'u}{c^2} - \frac{u}{c} = \frac{v'}{c}$

Знаючи, що v = c, підставимо це значення в попередній вираз: $1 + \frac{u}{c} - \frac{u}{c} = \frac{v'}{c}$

Спростимо: $1 = \frac{v'}{c}$

Отже, $v' = c$.

3. Знайдемо v', якщо v = c і u = c:

Ми вже знайшли це у попередній відповіді: $v' = c$, коли v = c і u = c.

4. Знайдемо v, якщо v' = c і u = c:

Знову використовуємо закон додавання швидкостей: $v = \frac{v' + u}{1 + \frac{v'u}{c^2}}$

У цьому випадку v' = c і u = c: $v = \frac{c + c}{1 + \frac{c \cdot c}{c^2}}$

Спростимо: $v = \frac{2c}{1 + 1} = \frac{2c}{2} = c$

Отже, якщо v' = c і u = c, то v також буде дорівнювати c.