Question

На какое расстояние надо отвести вниз от положения равновесия груз массой 640г, подвешенный на пружине жесткостью 400 Н/м, чтобы он проходил положение равновесия со скоростью 1 м/с?

Answer 1

Будем отсчитывать потенциальную энергию от положения равновесия. Тогда между крайним и равновесным положением запишем закон сохранения энергии

$> Отметим, что в равновесном положении пружина тоже растянута, причем <img src=$

4 сантиметра

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать законы гармонических колебаний и энергии.

Известно, что уравнение для гармонических колебаний смещения $x$ от положения равновесия можно записать как:

$m\cdot a = -k\cdot x$

где $m$ - масса груза, $k$ - коэффициент жесткости пружины, $a$ - ускорение груза.

Мы также знаем, что ускорение $a$ можно выразить через скорость $v$ и расстояние $x$ как $a = \frac{dv}{dt}$.

Теперь мы можем записать уравнение второго закона Ньютона для груза:

$m\cdot \frac{dv}{dt} = -k\cdot x$

Дано, что $m = 640 \, \text{г} = 0.64 \, \text{кг}$, $k = 400 \, \text{Н/м}$ и начальная скорость $v = 1 \, \text{м/с}$. Мы хотим найти расстояние $x$.

Интегрируя это уравнение по времени от начальной скорости $v_0$ до $v$ и от нулевого смещения до $x$, получаем:

$\int_{v_0}^v m \, dv = -\int_0^x k \, dx$

$m \cdot (v - v_0) = -k \cdot x$

$0.64 \cdot (v - 1) = -400 \cdot x$

$0.64 \cdot (1 - v) = 400 \cdot x$

Теперь мы можем решить это уравнение относительно $x$:

$x = \frac{0.64 \cdot (1 - v)}{400}$

Подставив значение $v = 1 \, \text{м/с}$, мы получим:

$x = \frac{0.64 \cdot (1 - 1)}{400} = 0$

Таким образом, расстояние $x$, на которое нужно отвести груз вниз от положения равновесия, чтобы он прошел положение равновесия со скоростью $1 \, \text{м/с}$, равно 0 метров. Это означает, что груз начнет свои колебания из положения равновесия и не потребуется начальное смещение.