Question

математический маятник с периодом колебаний 4 с отклонили на небольшой угол от положения равновесия и отпустили из состояния покоя через какое время после этого потенциальная энергия маятника в первый раз достигнет минимального значения

Answer 1

T=T\4=1c   маятник будет в положении равновесия где Ep=0

Answer 2

Для математического маятника, который отклонили на небольшой угол от положения равновесия и отпустили из состояния покоя, период колебаний остается постоянным, если угол отклонения мал. Период колебаний обозначим как T, и он равен 4 секундам, как указано в вашем вопросе.

Потенциальная энергия математического маятника зависит от его положения, а именно от угла отклонения от положения равновесия. Максимальная потенциальная энергия достигается, когда маятник находится в крайнем положении (максимальное отклонение), а минимальная потенциальная энергия достигается в положении равновесия.

Так как маятник отпущен из состояния покоя и угол отклонения небольшой, то можно считать, что маятник будет совершать гармонические колебания. При этом потенциальная энергия маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

При гармонических колебаниях потенциальная энергия маятника в любой момент времени t выражается следующей формулой:

$U(t) = U_{max} \cdot \cos^2(\omega t),$

где $U_{max}$ - максимальная потенциальная энергия, которая достигается в крайней точке колебаний (максимальное отклонение), а $\omega$ - циклическая частота колебаний.

Циклическая частота $\omega$ связана с периодом колебаний T следующим образом:

$\omega = \frac{2\pi}{T}.$

Таким образом, для данного маятника, циклическая частота равна:

$\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$

Теперь, чтобы определить время, когда потенциальная энергия маятника в первый раз достигнет минимального значения, нужно найти момент времени t, когда $\cos^2(\omega t)$ достигнет своего минимального значения.

Значение $\cos^2(\omega t)$ будет минимальным, когда $\cos(\omega t)$ равно нулю. Это происходит в моменты времени, когда аргумент $\omega t$ равен $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, и т.д.

Таким образом, для первого раза, когда потенциальная энергия достигнет минимального значения, подходит момент времени:

$\omega t = \frac{\pi}{2},$

$t = \frac{\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{2 \cdot \frac{\pi}{2}} = 1 \text{ секунда}.$

Итак, потенциальная энергия маятника в первый раз достигнет минимального значения через 1 секунду после того, как его отклонили от положения равновесия и отпустили из состояния покоя.