Question

Амплитуда колебания гармонически колеблющейся точки 2 см, частота 10 Гц и начальная фаза π/3. Найти максимальное значение ускорения точки

Answer 1

X=asin(ωt+φ0)=2sin(2πωt+φ0)=2sin(20πt+π/3)
v=x'=2cos(20πt+π/3)*20π
a=v'=-40πsin(20πt+π/3)
|a| max=40π

Answer 2

Для нахождения максимального значения ускорения точки в гармонических колебаниях, нужно рассмотреть уравнение движения точки. Ускорение можно найти, взяв двойную производную по времени от уравнения гармонического колебания.

Уравнение гармонического колебания для точки можно записать следующим образом:

$x(t) = A \cdot \cos(2\pi f t + \phi),$

где:

• $A$ - амплитуда колебания (2 см или 0.02 м),
• $f$ - частота колебаний (10 Гц или 10 с^-1),
• $t$ - время,
• $\phi$ - начальная фаза (в радианах, $\pi/3$ радиан).

Сначала найдем первую производную по времени от $x(t)$ для определения скорости $v(t)$:

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -2\pi A f \sin(2\pi f t + \phi).$

Теперь найдем вторую производную по времени от $x(t)$ для определения ускорения $a(t)$:

$a(t) = \frac{dv}{dt} = -2\pi A f^2 \cos(2\pi f t + \phi).$

Максимальное значение ускорения будет равно модулю наибольшего значения $a(t)$, которое достигается, когда косинус равен единице:

$a_{\text{макс}} = 2\pi A f^2.$

Теперь подставим значения $A$ и $f$ в уравнение:

$a_{\text{макс}} = 2\pi \cdot 0.02 \cdot (10)^2.$

Выполним вычисления:

$a_{\text{макс}} = 2\pi \cdot 0.02 \cdot 100 = 4\pi \, \text{м/c}^2 \approx 12.57 \, \text{м/c}^2.$

Таким образом, максимальное значение ускорения точки составляет примерно 12.57 м/c^2.