Question

Ракета имеет на Земле длину 200 м. На сколько метров она уменьшит свою длину для наблюдателя на Земле. Если ракета движется относительно него со скоростью c/3?

Answer 1

Релятивистское (лоренцово) сокращение длины ракеты:
l = l₀·√ (1-(v/c)²) = 200·√ (1-(c/(3·c))²) = 200·√ ( 1 - (1/3)²) = 200·√ (1-1/9) =
= 200·√ (8/9) ≈  200·0,94 = 188 м

Длина ракеты относительно наблюдателя на Земле уменьшилась на
200 - 188 = 12 метров

Answer 2

Чтобы рассчитать, на сколько метров уменьшит свою длину ракета для наблюдателя на Земле, мы можем использовать формулу для эффекта доплеровского сокращения длины.

Доплеровский эффект описывает изменение длины волны (в данном случае, длины объекта) из-за движения источника относительно наблюдателя. Формула для доплеровского сокращения длины выглядит следующим образом:

$L' = \frac{L}{\gamma}$

где: $L$ - длина объекта в покое (в данном случае 200 м), $L'$ - длина объекта для наблюдателя в движении, $\gamma$ - Лоренц-фактор, который вычисляется как $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$,

$v$ - скорость объекта (в данном случае $\frac{c}{3}$).

Сначала найдем Лоренц-фактор:

$v = \frac{c}{3}$

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\left(\frac{c}{3}\right)^2}{c^2}}}$ $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{9}}}$ $\gamma = \frac{1}{\sqrt{\frac{8}{9}}}$ $\gamma = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}$ $\gamma = \frac{3}{\sqrt{8}}$

Теперь используем найденное значение Лоренц-фактора, чтобы вычислить длину ракеты для наблюдателя:

$L' = \frac{L}{\gamma} = \frac{200}{\frac{3}{\sqrt{8}}}$ $L' = 200 \times \frac{\sqrt{8}}{3}$ $L' = 200 \times \frac{\sqrt{8}}{3} \times \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}$ $L' = \frac{200\sqrt{64}}{3}$ $L' = \frac{200 \times 8}{3}$ $L' = \frac{1600}{3}$

Таким образом, для наблюдателя на Земле ракета уменьшит свою длину примерно на $\frac{1600}{3}$ метров.